東京大学 2000年数学第5問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

東京大学2000年度第5問

次の条件を満たす正の整数全体の集合をSとおく。「各けたの数字はたがいに異なり，どの2つのけたの数字の和も9にならない。」ただし，Sの要素は10進法で表す。また，1けたの正の整数はSに含まれるとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) Sの要素でちょうど4けたのものは何個あるか。

(2) 小さい方から数えて2000番目のSの要素を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 1728個。(2) 小さい方から2000番目のSの要素は8695。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

数字は $\{0,9\},\{1,8\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}$ の各組から高々1個ずつ使う。 (1) 先頭は1から9の9通り。その組を除く4組の8数字から第2桁を、残る3組の6数字から第3桁を、残る2組の4数字から第4桁を選ぶ。従って $\boxed{9\cdot8\cdot6\cdot4=1728\text{個}}.$ (2) 同様に1桁、2桁、3桁の数は順に9個、72個、432個。従って求める数は4桁の中で $2000-(9+72+432)=1487\text{番目}.$ 先頭を固定すると $8\cdot6\cdot4=192$ 個ある。 $1487=7\cdot192+143$ なので先頭は8、8で始まる数の143番目である。第2桁の候補は $0,2,3,4,5,6,7,9$ の順で各24個。 $143=5\cdot24+23$ より第2桁は6。第3桁の候補は $0,2,4,5,7,9$ 、各4個。 $23=5\cdot4+3$ より第3桁は9。最後の候補 $2,4,5,7$ の3番目は5だから、求める数は $\boxed{8695}$ 。

この問題で使う考え方

相補な数字の組
積の法則
辞書式の順位

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