4大阪大学 2002年 数学 第4問解答・解説

出目列は $6^n$ 通りで、すべて同確率である。

(1) 隣り合う出目が異なる列は、1回目が6通り、以降が各5通りなので $$\displaystyle \boxed{p_2=\frac{6\cdot5^{n-1}}{6^n}=\left(\frac56\right)^{n-1}}.$$

(2) 条件は「長さ $k$ のどの連続区間でも出目がすべて異なる」と同値である。$3\le k\le6$ では最初の $k$ 回を相異なるように並べる数が $6!/(6-k)!$。それ以後は直前 $k-1$ 個を避けて $7-k$ 通りずつ選べる。よって $$\displaystyle \boxed{p_k=\frac{6!}{(6-k)!}\frac{(7-k)^{n-k}}{6^n}\quad(3\le k\le6)}.$$ $k\ge7$ なら最初の7回の中に鳩の巣原理で同じ目があり、その2回の間隔は高々6。条件を満たせないので $$\boxed{p_k=0\quad(7\le k\le n)}.$$

(3) 隣り合う同じ目がなく、かつ距離2の同じ目もない列では、最初の2回は $6\cdot5$ 通り、その後は直前2個と異なる4通りずつ。条件を満たす列数は、隣接反復なしの全列からこれらを引いた $$6\cdot5^{n-1}-6\cdot5\cdot4^{n-2}.$$ これを $6^n$ で割ると $$\displaystyle \boxed{\frac{5(5^{n-2}-4^{n-2})}{6^{n-1}}}.$$