3大阪大学 2002年 数学 第3問解答・解説

まず $\displaystyle r_n=\frac{z_n}{z_{n-1}}\ (n\ge2)$ とおく。$\displaystyle r_2=\frac{\alpha^4}{2}$ であり、$|\alpha|=1$ より $\overline{\alpha}=\alpha^{-1}$ である。漸化式から、$n\ge3$ について $\displaystyle r_n=\frac{\alpha^2}{4}\frac{1}{\overline{r_{n-1}}}$ となる。$\displaystyle r_{n-1}=\frac{\alpha^{2(n-1)}}2$ ならば $\displaystyle \overline{r_{n-1}}=\frac{\alpha^{-2(n-1)}}2$ なので、$\displaystyle r_n=\frac{\alpha^{2n}}2$ である。したがって、数学的帰納法により $\displaystyle r_n=\frac{\alpha^{2n}}2\ (n\ge2)$。

$z_1=1$ だから、$n\ge2$ では $\displaystyle z_n=\prod\limits _{j=2}^{n}r_j=\frac{1}{2^{n-1}}\alpha^{2\sum\limits _{j=2}^{n}j}=\frac{\alpha^{n(n+1)-2}}{2^{n-1}}$。この式は $n=1$ に対しても成り立つ。

次に $\displaystyle \alpha=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ は $\alpha^3=1$ を満たす。指数 $n(n+1)-2$ は、$n\equiv1\pmod3$ のとき $0\pmod3$、$n\equiv0,2\pmod3$ のとき $1\pmod3$ である。よって $n\equiv1\pmod3$ なら $z_n=2^{-(n-1)}$、$n\equiv0,2\pmod3$ なら $z_n=\alpha 2^{-(n-1)}$。したがって $j\ge0$ に対して $x_{3j+1}=2^{-3j}$、$x_{3j+2}=-2^{-(3j+2)}$、$x_{3j+3}=-2^{-(3j+3)}$ であり、$y_{3j+1}=0$、$y_{3j+2}=\sqrt3\,2^{-(3j+2)}$、$y_{3j+3}=\sqrt3\,2^{-(3j+3)}$。また $|z_n|=2^{-(n-1)}$ なので、実部・虚部の級数はともに絶対収束する。

以上より、$$\displaystyle \begin{aligned}\sum\limits _{k=1}^{\infty}x_k&=\sum\limits _{j=0}^{\infty}\left(2^{-3j}-2^{-(3j+2)}-2^{-(3j+3)}\right)=\frac{1-\frac14-\frac18}{1-\frac18}=\frac57,\\\sum\limits _{k=1}^{\infty}y_k&=\sqrt3\sum\limits _{j=0}^{\infty}\left(2^{-(3j+2)}+2^{-(3j+3)}\right)=\sqrt3\frac{\frac14+\frac18}{1-\frac18}=\frac{3\sqrt3}{7}.\end{aligned}$$