1大阪大学 2002年 数学 第1問解答・解説

3つの異なる実数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。解と係数の関係より、$\alpha+\beta+\gamma=-a<0$、$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b>0$ である。

もし負でない解が2つ以上あるなら、適宜名前を付け替えて $\alpha\geq 0$、$\beta\geq 0$ とできる。このとき $\gamma=-a-(\alpha+\beta)<-(\alpha+\beta)$ である。

$\alpha+\beta>0$ ならば、$\alpha+\beta$ は正なので、 $$b=\alpha\beta+\gamma(\alpha+\beta)<\alpha\beta-(\alpha+\beta)^2=-(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)\leq 0,$$ となり、$b>0$ に矛盾する。$\alpha+\beta=0$ ならば $\alpha=\beta=0$ であり、$b=\alpha\beta+\gamma(\alpha+\beta)=0$ となって、やはり $b>0$ に矛盾する。

したがって負でない解は高々1つである。3つの実数解のうち少なくとも2つは負である。