2大阪大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) b,c,d を a で表す

双曲線上の2点 $(u,1/u),(v,1/v)$ を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{1/v-1/u}{v-u}=-\frac1{uv}$$ である。四角形 $PQSR$ は長方形なので、向かい合う辺 $PQ,SR$ と $QS,RP$ はそれぞれ平行である。傾きが等しいことから $$ab=cd,\qquad bd=ac.$$ 第2式を $ac=bd$ と書き直し、2式を掛け合わせると $a^2bc=bcd^2$。$bc\ne0$ より $a^2=d^2$ である。条件 $a>0>d$ から $d=-a$。これを $ab=cd$ に代入すると $ab=-ac$ となり、$a>0$ より $c=-b$ を得る。

隣り合う辺 $PQ,QS$ は垂直である。したがって傾きの積は $-1$ だから $$\displaystyle \left(-\frac1{ab}\right)\left(-\frac1{bd}\right)=-1.$$ ここに $d=-a$ を代入すると $a^2b^2=1$。$a,b>0$ より $ab=1$、よって $$\displaystyle \boxed{b=\frac1a,\qquad c=-\frac1a,\qquad d=-a.}$$ また $b<a$ なので $a>1$。

(2) 線分 TU と双曲線が交わらない a の範囲

$r=1/a$、$k=a-r=a-1/a$ とおくと、各点は $$P=(a,r),\quad Q=(r,a),\quad R=(-r,-a),\quad S=(-a,-r)$$ である。直線 $PR$ は $y=x-k$、直線 $QS$ は $y=x+k$。よって $$T=(k,0),\quad U=(0,k),\quad TU:\ x+y=k\quad(0\le x\le k).$$ ここで $a>1$ だから $k>0$。線分 $TU$ 上で曲線 $y=1/x$ と交わるには、ある $x>0$ が $$\displaystyle x+\frac1x=k$$ を満たせばよい。正の $x$ について $x+1/x\ge2$ であり、逆に $k\ge2$ なら方程式 $x^2-kx+1=0$ の解は正（和 $k>0$、積 $1>0$）なので、交点があるのはちょうど $k\ge2$ のときである。したがって交わらない条件は $k<2$。 $$\displaystyle a-\frac1a<2\text{、すなわち } a^2-2a-1<0.$$ これと $a>1$ を合わせると $$\boxed{1<a<1+\sqrt2.}$$

(3) 面積 S(a)

双曲線の枝と3線分で囲まれる部分を、縦の細い帯に分けて面積を足す。境界が切り替わる位置は $x=r$（点 $Q$ の真下）と $x=k$（点 $T$ の真上）なので、$k$ と $r$ の大小で場合分けする。

まず $k\le r$、すなわち $1<a\le\sqrt2$ の場合は、$0\le x\le k$ で直線 $TU,UQ$、$k\le x\le r$ で $PT,UQ$、$r\le x\le a$ で双曲線と $PT$ が上下の境界となる。各区間の高さを引くと $$\displaystyle \begin{aligned} S(a)&=\int_0^k 2x\,dx+\int_k^r 2k\,dx +\int_r^a\left(\frac1x-x+k\right)dx\\ &=2kr+2\log a-\frac{a^2-r^2}{2}. \end{aligned}$$ 次に $k\ge r$、すなわち $a\ge\sqrt2$ の場合は、$0\le x\le r$ で直線 $TU,UQ$、$r\le x\le k$ で双曲線と $TU$、$k\le x\le a$ で双曲線と $PT$ が境界となる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S(a)&=\int_0^r 2x\,dx+\int_r^k\left(\frac1x-k+x\right)dx +\int_k^a\left(\frac1x-x+k\right)dx\\ &=r^2+2\log a-\frac{(k-r)^2}{2}-\frac{(a-k)^2}{2}. \end{aligned}$$ どちらも $r=1/a$、$k=a-r$ を代入して整理すると同じ式になり、 $$\displaystyle \boxed{S(a)=2+2\log a-\frac{a^2}{2}-\frac{3}{2a^2}}.$$ ここで $\log$ は自然対数である。境界の等号 $k=r$ では2つの積分表示が一致する。

(4) 増減と最大値

$$\displaystyle S'(a)=\frac2a-a+\frac3{a^3} =\frac{(3-a^2)(a^2+1)}{a^3}.$$ 範囲 $1<a<1+\sqrt2$ では $(a^2+1)/a^3>0$ なので、導関数の符号は $3-a^2$ の符号で決まる。従って $1<a<\sqrt3$ で増加し、$\sqrt3<a<1+\sqrt2$ で減少する。最大となる $a=\sqrt3$ は定義域内にあり、 $$\displaystyle S(\sqrt3)=2+\log3-\frac32-\frac12=\boxed{\log3}.$$