3広島大学 2009年 数学 第3問解答・解説

曲線と直線 $m$ の交点の $x$ 座標は $g(x)=e^x-x-2=0$ の解である。$g'(x)=e^x-1$ より $g$ は $x<0$ で減少し、$x>0$ で増加する。また $g(0)=-1$ であり、問題の二つの解はこの極小点の左右に一つずつある。したがって $\alpha<0<\beta$ であり、$\alpha<x<\beta$ では $g(x)<0$ である。

曲線 $y=e^x$ の $x=0$ における接線の傾きは $(e^x)'|_{x=0}=1$ だから、$\ell$ は $y=x+1$、$m$ は $y=x+2$ である。交点では $e^\alpha=\alpha+2$、$e^\beta=\beta+2$ となる。

(1)　 $P=(\alpha,\alpha+2)$、$P'=(\alpha,\alpha+1)$、$Q'=(\beta,\beta+1)$、$Q=(\beta,\beta+2)$ である。PP' の長さは $1$ で、これに平行な辺との距離は $\beta-\alpha$ だから、$S=\beta-\alpha$。

(2)　 $\alpha<x<\beta$ では $g(x)<0$、すなわち直線 $m$ が曲線より上にある。よって$$\displaystyle T=\int_\alpha^\beta(x+2-e^x)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x-e^x\right]_\alpha^\beta=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}+2(\beta-\alpha)-\{(\beta+2)-(\alpha+2)\}=\frac{(\beta-\alpha)(\alpha+\beta+2)}{2}.$$

(3)　 $\displaystyle h(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおく。$x>0$ で $h''(x)=e^x-1>0$ であり、$h(0)=h'(0)=0$ だから $h(x)>0$。特に $\displaystyle e^{3/2}>1+\frac32+\frac{(3/2)^2}{2}=\frac{29}{8}>\frac72$。したがって $g(3/2)>0$、また $\displaystyle e^{-3/2}<\frac{8}{29}<\frac12$ より $g(-3/2)<0$ である。$g$ は負の範囲で減少、正の範囲で増加するから、$\displaystyle \alpha<-\frac32$、$\displaystyle \beta<\frac32$。ゆえに $\alpha+\beta<0$。中点は$$\displaystyle R=\left(\frac{\alpha+\beta}{2},\frac{e^\alpha+e^\beta}{2}\right)$$であり、第一成分は負、第二成分は正である。したがって R は第2象限にある。

(4)　 $e^x$ は $e^x>0$ より下に凸である。$0<x<1$ ではグラフは端点 $(0,1)$、$(1,e)$ を結ぶ弦より下にあるので、$e^x<1+(e-1)x$。これを 0 から 1 まで積分すると$$\displaystyle e-1=\int_0^1e^x\,dx<\int_0^1\{1+(e-1)x\}\,dx=\frac{e+1}{2},$$よって $e<3$。交点の関係 $e^\alpha=\alpha+2>0$ から $\alpha>-2$。また $g(1)=e-3<0$ で、$g$ は $x>0$ で増加するため $\beta>1$。したがって $\alpha+\beta>-2+1=-1$。