4広島大学 2009年 数学 第4問解答・解説

四面体 $OABC$ は非退化なので $O$ は平面 $ABC$ 上にない。よって平面 $ABC$ 上の点 $P$ は $O$ と異なる。　 (1) 与えられた角と長さから、$\vec a\cdot\vec a=\vec b\cdot\vec b=4$、$\vec c\cdot\vec c=1$、$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=0$、$\displaystyle \vec b\cdot\vec c=2\cdot1\cdot\cos\frac\pi3=1$ である。したがって $$\vec p\cdot\vec a=4(1-s-t),\qquad \vec p\cdot\vec b=4s+t,\qquad \vec p\cdot\vec c=s+t.$$ (2) $$\displaystyle \cos\angle AOP=\frac{\vec p\cdot\vec a}{2|\vec p|},\qquad \cos\angle BOP=\frac{\vec p\cdot\vec b}{2|\vec p|},\qquad \cos\angle COP=\frac{\vec p\cdot\vec c}{|\vec p|}.$$ 角はいずれも $0$ 以上 $\pi$ 以下の範囲にあり、この範囲で余弦は一対一だから、三つの角が等しい条件は $\vec p\cdot\vec a=\vec p\cdot\vec b=2\vec p\cdot\vec c$ と同値である。(1)を代入すると $$4(1-s-t)=4s+t,\qquad 4(1-s-t)=2(s+t).$$ 後式から $\displaystyle s+t=\frac23$、前式から $8s+5t=4$ を得る。これを連立して $\displaystyle s=\frac29,\ t=\frac49$。このとき各内積は $\displaystyle \vec p\cdot\vec a=\vec p\cdot\vec b=\frac43$、$\displaystyle \vec p\cdot\vec c=\frac23$ となり、上の三つの余弦は等しいので条件を満たす。　 (3) (2)より $\displaystyle \vec p=\frac13\vec a+\frac29\vec b+\frac49\vec c$。$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac13\vec b+\frac23\vec c$ とおけば $\displaystyle \vec p=\frac13\vec a+\frac23\overrightarrow{OQ}$ であるから、$Q$ は直線 $AP$ 上にあり、$\displaystyle BQ:QC=\frac23:\frac13=2:1$。また $\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac37\vec a+\frac47\vec c$ とおけば $\displaystyle \vec p=\frac29\vec b+\frac79\overrightarrow{OR}$ であるから、$R$ は直線 $BP$ 上にあり、$\displaystyle AR:RC=\frac47:\frac37=4:3$。　 (4) 四面体 $OABP$ と $OABC$ は底面 $OAB$ を共有する。$P$ の平面 $OAB$ からの高さは、$\displaystyle \vec p=\frac13\vec a+\frac29\vec b+\frac49\vec c$ において $\vec a,\vec b$ の成分が同平面内にあるため、$C$ の高さの $\displaystyle \frac49$ 倍である。よって $\displaystyle V_{OABP}:V_{OABC}=\frac49$。同様に、底面を $OBC$ とすれば高さの比は $A$ に対する係数 $\displaystyle \frac13$、底面を $OCA$ とすれば高さの比は $B$ に対する係数 $\displaystyle \frac29$ である。したがって $$\displaystyle V_{OABP}:V_{OBCP}:V_{OCAP}=\frac49:\frac13:\frac29=4:3:2.$$