1徳島大学 2025年 数学 第1問解答・解説

P=$\displaystyle \left(\frac34,0,0\right)$,　 Q=(0,1,s) であるから、$\overrightarrow{PQ}$=$\displaystyle \left(-\frac34,1,s\right)$.

$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OP}$+t$\overrightarrow{PQ}$=$\displaystyle \left(\frac{3(1-t)}4,t,st\right)$.

平面 BCE の方程式は y=1 である。直線 OR 上の点は $\lambda$$\overrightarrow{OR}$ と表せる。t>0 より、y 座標が 1 となるのは $\lambda$=$\displaystyle \frac1t$ のときだから、

$\overrightarrow{OS}$=$\displaystyle \frac1t$$\overrightarrow{OR}$=$\displaystyle \left(\frac{3(1-t)}{4t},1,s\right)$.

(2) 平面 BCE 上で B,C,D,E はそれぞれ (x,z)=(0,0),(1,0),(1,2),(0,2) に対応するので、四角形 BCDE は 0$\le$ x$\le$1, 0$\le$ z$\le$2 の長方形である。S の座標から 0$\le$ s$\le$2 はもとの条件のままであり、

0$\le$$\displaystyle \frac{3(1-t)}{4t}$$\le$1.

ここで 0<t$\le$1 なので左側の不等式は成り立つ。右側は

3(1-t)$\le$4t$\quad\text{すなわち}\quad$ t$\ge$$\displaystyle \frac37$ となる。したがって条件は 0$\le$ s$\le$2, $\displaystyle \frac37$$\le$ t$\le$1 である。

(3) B=(0,1,0),E=(0,1,2) とおく。t を固定して s を 0 から 2 まで動かすと、R は (1-t)P+tB から (1-t)P+tE までの線分を動く。t=1 ではこの線分が BE、t=$\displaystyle \frac37$ では

U=$\displaystyle \frac47$P+$\displaystyle \frac37$B=$\displaystyle \left(\frac37,\frac37,0\right)$,　 V=$\displaystyle \frac47$P+$\displaystyle \frac37$E=$\displaystyle \left(\frac37,\frac37,\frac67\right)$

を両端とする線分 UV である。中間の t に対しても線分の両端は BU および EV 上を動くから、軌跡は台形 BEVU 全体である。BE$\parallel$ UV で、

|BE|=2,　 |UV|=$\displaystyle \frac67$,　 |BU|=$\displaystyle \frac47$|BP|=$\displaystyle \frac47$$\displaystyle \sqrt{\left(\frac34\right)^2+1}$=$\displaystyle \frac57$.

$\overrightarrow{BU}$ は xy 平面に平行で、BE は z 軸に平行だから BU$\perp$ BE。よって台形の高さは $\displaystyle \frac57$ であり、面積は

$\displaystyle \frac{|BE|+|UV|}{2}$|BU|=$\displaystyle \frac{2+\frac67}{2}$$\cdot$$\displaystyle \frac57$=$\displaystyle \boxed{\frac{50}{49}}$.