2広島大学 2009年 数学 第2問解答・解説

以下では常に $y>0$ とする。辺の長さの二乗は $$AB^2=1,\qquad AC^2=x^2+y^2,\qquad BC^2=(x-1)^2+y^2.$$ (1) 二等辺三角形では3組のうち少なくとも1組の辺が等しい。各場合を調べると $$\displaystyle \boxed{x=\frac12\quad\text{または}\quad x^2+y^2=1 \quad\text{または}\quad(x-1)^2+y^2=1,\qquad y>0}.$$ すなわち直線 $x=1/2$ の上半部分と，中心 $A,B$，半径1の円の上半円の和集合である。図の実線を含み，$y=0$ の端点は含まない。

(2) 角 $A,B,C$ が鋭角である条件をそれぞれ内積で表すと $$x>0,\qquad1-x>0,\qquad x^2-x+y^2>0.$$ 従って必要十分条件は $$\boxed{0<x<1,\qquad y>0,\qquad (x-1/2)^2+y^2>1/4}.$$ 縦の帯 $0<x<1$ のうち，直径 $AB$ の上半円より上の領域である。図の破線境界はすべて含まない。

(3) 三角形の角の大小は対辺の長さの大小に一致するので $$\alpha\le\beta\le\gamma\quad\text{すなわち}\quad BC\le AC\le AB \quad\text{すなわち}\quad x\ge1/2,\ x^2+y^2\le1.$$ さらに最大角 $\gamma$ が鋭角である条件は $x^2-x+y^2>0$。 よって必要十分条件は $$\boxed{x\ge1/2,\qquad y>0,\qquad x^2+y^2\le1,\qquad(x-1/2)^2+y^2>1/4}.$$ 図では原点中心の円の内側（円周を含む）かつ直径 $AB$ の円の外側（円周を含まない）で，$x=1/2$ より右の部分である。$x=1/2$ の縦境界は上端を含み下端を含まない。

(4) $\gamma$ は最大角であり $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ だから $3\gamma\ge\pi$。条件と合わせて $\pi/3\le\gamma<\pi/2$ が必要。 逆にこの範囲の任意の $\gamma$ に対し，$\alpha=\beta=(\pi-\gamma)/2$ とすれば $0<\alpha=\beta\le\gamma$。 実際に $\displaystyle C=(1/2,\,\tfrac12\cot(\gamma/2))$ と選べばこの二等辺三角形を作れる。従って $$\displaystyle \boxed{\frac\pi3\le\gamma<\frac\pi2}.$$