1広島大学 2009年 数学 第1問解答・解説

・ (1) 偽。 A=$$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$, B=$$\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$$ とする。このとき $A^2=B^2=O$, AB=$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$$, BA=$$\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$ である。したがって $(A+B)^2=AB+BA=E$ である一方、$A^2+2AB+B^2=$$$\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}$$ となり、両者は等しくない。

・ (2) 偽。 A=$$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$ とすると $A^2=E$ だが、$A\ne E$ かつ $A\ne -E$ である。

・ (3) 偽。 $f(x)=x^3,\quad a=0$ とする。$f'(x)=3x^2$ より $f'(0)=0$ であるが、$x<0$ なら $f(x)<f(0)$、$x>0$ なら $f(x)>f(0)$ である。よって x=0 で極大値も極小値もとらない。

・ (4) 真。 $\displaystyle S=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ とおく。n が奇数なら $n\ge3$ であり、$\displaystyle S=n\cdot\frac{n+1}{2}$ だから n は S の3以上の奇数の約数である。n が偶数なら $\displaystyle S=\frac n2(n+1)$ であり、n+1 は3以上の奇数の約数である。どちらの場合も条件を満たす約数がある。