2北海道大学 2008年 数学 第2問解答・解説

・ $n=1$ では $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ なので $a_1=d_1$、$b_1=c_1$。ある $n\ge1$ で $A^n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\\b_n&a_n\end{pmatrix}$ と仮定する。与えられた $A$ を右から掛け、各成分を計算すると $$A^{n+1}=\begin{pmatrix}2a_n+b_n&a_n+2b_n\\a_n+2b_n&b_n+2a_n\end{pmatrix}.$$ この行列でも対角成分は等しく、非対角成分も等しい。数学的帰納法により、すべての自然数 $n\ge1$ について $a_n=d_n$、$b_n=c_n$ である。

・ (1)の成分計算から $$a_{n+1}=2a_n+b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+2b_n.$$ すべての成分は整数なので、2で割った余りを考えると $$(a_{n+1},b_{n+1})\equiv(b_n,a_n)\pmod 2.$$ 初めは $(a_1,b_1)=(2,1)\equiv(0,1)\pmod2$。したがって一段進むごとに偶奇が入れ替わり、奇数 $n$ では $(a_n,b_n)\equiv(0,1)$、偶数 $n$ では $(a_n,b_n)\equiv(1,0)\pmod2$。従って奇数 $n$ では $a_n$ は偶数、偶数 $n$ では $a_n$ は奇数である。自然数に0を含める場合も $A^0=I$ なので (1) と偶数の場合の結論は成り立つ。