5北海道大学 2008年 数学 第5問解答・解説

(1) $\displaystyle A=\int_0^1 e^t f(t)\,dt$ とおくと、$e^{x+t}=e^xe^t$ より $f(x)=Ae^x$。これを $A$ の定義に代入して $$\displaystyle A=A\int_0^1e^{2t}\,dt=A\frac{e^2-1}{2}.$$ ここで $e^2>3$ である。実際、$h(u)=e^u-1-u$ とおくと、$u>0$ で $h'(u)=e^u-1>0$、かつ $h(0)=0$ だから $h(2)>0$。よって $(e^2-1)/2>1$ であり、上の等式から $A=0$。したがって $f(x)=0$。

(2) $\displaystyle B=\int_0^1e^t g(t)\,dt$ とおくと、与式は $g(x)=Be^x+x$ となる。これを $B$ の定義に代入すると $$\displaystyle B=B\int_0^1e^{2t}\,dt+\int_0^1te^t\,dt =B\frac{e^2-1}{2}+\left[(t-1)e^t\right]_0^1 =B\frac{e^2-1}{2}+1.$$ したがって $B(3-e^2)/2=1$ であり、$e^2>3$ より $B=2/(3-e^2)$。ゆえに $$\displaystyle g(x)=x+\frac{2e^x}{3-e^2}\quad(0\le x\le1).$$