3北海道大学 2008年 数学 第3問解答・解説

分母はすべての実数 $x$ に対して $2x^2+1>0$ である。

(1) $0<x<1$ より $3x^2>0$、また $x^2<1$ だから $3x^2<2x^2+1$。したがって $$\displaystyle 0<\frac{3x^2}{2x^2+1}<1.$$

(2) 分母が正なので、 $$\displaystyle f(x)-x=\frac{3x^2-x(2x^2+1)}{2x^2+1}=\frac{x(1-x)(2x-1)}{2x^2+1}.$$ よって $f(x)-x=0$ となるのは $\displaystyle x=0,\frac12,1$ である。

(3) (1)を用いると、帰納法によりすべての $n$ で $0<a_n<1$ である。また $$\displaystyle f(x)-x=\frac{x(1-x)(2x-1)}{2x^2+1},\qquad f(x)-\frac12=\frac{(2x-1)(2x+1)}{2(2x^2+1)}.$$ したがって $\displaystyle 0<x<\frac12$ なら $\displaystyle 0<f(x)<\frac12$ かつ $f(x)<x$。$\displaystyle \frac12<x<1$ なら $\displaystyle \frac12<f(x)<1$ かつ $f(x)>x$。

$\displaystyle 0<\alpha<\frac12$ のとき、$\{a_n\}$ は減少し、下に0で有界だから収束する。その極限を $L$ とすると、連続性より $L=f(L)$。さらに $\displaystyle 0\le L\le a_1<\frac12$ なので、(2)から $L=0$ である。

$\displaystyle \alpha=\frac12$ のときは $\displaystyle a_n=\frac12$ である。

$\displaystyle \frac12<\alpha<1$ のとき、$\{a_n\}$ は増加し、上に1で有界だから収束する。その極限を $L$ とすると、連続性より $L=f(L)$。さらに $\displaystyle \frac12<a_1\le L\le1$ なので、(2)から $L=1$ である。