4北海道大学 2008年 数学 第4問解答・解説

点A,Bの座標をそれぞれ$A=(c,s,0),\ B=(c,-s,0)$とおく。ただし$\displaystyle c=\cos\frac{\alpha}{2}>0,\ s=\sin\frac{\alpha}{2}>0$である。

$\angle COA=\angle COB=\theta$より、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\cos\theta$。$C=(x,y,z)$とすると、$cx+sy=cx-sy$から$y=0$、また$cx=\cos\theta$だから$\displaystyle x=\frac{\cos\theta}{c}$。$C$は単位球面上にあり、$z>0$なので、$\displaystyle z=\sqrt{1-\frac{\cos^2\theta}{c^2}}$。したがって実際に点Cが存在する条件は$\lvert\cos\theta\rvert<c$、すなわち$\displaystyle \frac{\alpha}{2}<\theta<\pi-\frac{\alpha}{2}$であり、$\displaystyle C=\left(\frac{\cos\theta}{\cos(\alpha/2)},0,\sqrt{1-\frac{\cos^2\theta}{\cos^2(\alpha/2)}}\right)$。

点Dについても同様に$\displaystyle D=\left(\frac{\cos\theta}{c},0,-\sqrt{1-\frac{\cos^2\theta}{c^2}}\right)$となる。(2)で全ての組のなす角が等しいので、単位ベクトル間の内積も全て等しい。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos\alpha$、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\cos\theta$より$\cos\theta=\cos\alpha$。両角は$(0,\pi)$にあるため$\theta=\alpha$。

$u=\cos\alpha$とおくと、$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=x^2-z^2=2x^2-1$である。これも$u$に等しいから、$\displaystyle c^2=\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+u}{2}$を用いて$\displaystyle \frac{4u^2}{1+u}-1=u$、したがって$3u^2-2u-1=0$。解は$\displaystyle u=1,-\frac13$だが、$0<\alpha<\pi$より$u=1$は除かれ、$\displaystyle \cos\alpha=-\frac13$。よって$\displaystyle c=\frac1{\sqrt3}$、$\displaystyle x=-\frac1{\sqrt3}$、$\displaystyle z=\sqrt{\frac23}$となり、$\displaystyle C=\left(-\frac1{\sqrt3},0,\sqrt{\frac23}\right)$。