4愛媛大学 2009年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-9d77295ad6d7-Q4 結論　 $$\displaystyle (1)\quad |\overrightarrow{AB}|=3,\quad |\overrightarrow{AC}|=3,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0. \qquad (2)\quad |\overrightarrow{AP}|=3. \qquad (3)\quad [\triangle PBC]_{\max}=\frac{9(1+\sqrt2)}2.$$ $$\overrightarrow{AB}=B-A=(2,2,1),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(1,-2,2).$$ $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3,\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-4+2=0.$$ $$\overrightarrow{AP}=(\sin\theta)\overrightarrow{AB} +(\cos\theta)\overrightarrow{AC}$$ より、 $$|\overrightarrow{AP}|^2 =\sin^2\theta|\overrightarrow{AB}|^2 +2\sin\theta\cos\theta(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}) +\cos^2\theta|\overrightarrow{AC}|^2 =9(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=9.$$ よって $|\overrightarrow{AP}|=3$ であり、$\theta$ によらず一定である。 $$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$$ をそれぞれ正の $x$ 軸，$y$ 軸方向とする直交座標を平面 $ABC$ 上にとる。このとき $$A=(0,0),\quad B=(3,0),\quad C=(0,3),\quad P=(3\sin\theta,3\cos\theta)$$ である。 $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと、$\triangle PBC$ の面積は $$\displaystyle \frac12\left|(3-3s)(3-3c)-(-3c)(-3s)\right| =\frac92|1-s-c|.$$ $$(s+c)^2=1+2sc\le2 \qquad \bigl((s-c)^2\ge0,\ s^2+c^2=1\bigr)$$ より $$-\sqrt2\le s+c\le\sqrt2.$$ したがって $|1-s-c|\le1+\sqrt2$ であり、等号は $s=c=-1/\sqrt2$ のときに成立する。ゆえに面積の最大値は $$\displaystyle \frac{9(1+\sqrt2)}2.$$ この等号は $$\displaystyle \theta=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \quad(k\text{ は整数})$$ で達する。このとき $P$ の座標は $$\displaystyle \left(-\frac{3}{\sqrt2},-\frac{3}{\sqrt2}\right)$$ なので、$B,C$ のいずれとも異なり、条件を満たす。