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愛媛大学／2009年度／前期

愛媛大学 2009年 数学 第9問解答・解説

極限微分法数列

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1問題

愛媛大学2009年度第9問

関数 f(x)f(x) は第2次導関数をもち，条件

(i) f(0)>0,f(1)=1f(0)>0,\quad f(1)=1

(ii) f′(0)>0,0<f′(1)<1f'(0)>0,\quad 0<f'(1)<1

(iii) すべての実数 xx に対して f′′(x)>0f''(x)>0

をすべてみたすものとする。また，数列 {xn}\{x_n\} を帰納的に x1=0,xn+1=f(xn)(n=1,2,3,… )x_1=0,\qquad x_{n+1}=f(x_n)\quad(n=1,2,3,\dots) で定める。

(1) 0≦x<10\leq x<1 のとき f(0)≦f(x)<1,f′(0)≦f′(x)<f′(1)f(0)\leq f(x)<1,\qquad f'(0)\leq f'(x)<f'(1) であることを示せ。

(2) すべての自然数 nn に対して 0<1−xn+1<f′(1)(1−xn)0<1-x_{n+1}<f'(1)(1-x_n) が成り立つことを示せ。

(3) lim⁡n→∞xn=1\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}x_n=1 であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)f(0)≦f(x)<1,f′(0)≦f′(x)<f′(1)(0≦x<1),(2)0<1−xn+1<f′(1)(1−xn)(n=1,2,…),(3)lim⁡n→∞xn=1.\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad &f(0)\le f(x)<1,\qquad f'(0)\le f'(x)<f'(1)\quad(0\le x<1),\\ (2)\quad &0<1-x_{n+1}<f'(1)(1-x_n)\quad(n=1,2,\ldots),\\ (3)\quad &\lim\limits _{n\to\infty}x_n=1. \end{aligned}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)　 f′′(x)>0f''(x)>0 より、導関数の符号による増減を f′f' に用いると、x1<x2x_1<x_2 ならば f′(x1)<f′(x2)f'(x_1)<f'(x_2) が成り立つ。したがって 0≦x<10\le x<1 に対して f′(0)≦f′(x)<f′(1)f'(0)\le f'(x)<f'(1) である。また、0≦x≦10\le x\le1 の範囲で f′(x)≧f′(0)>0f'(x)\ge f'(0)>0 だから、0≦x1<x2≦10\le x_1<x_2\le1 ならば f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) が成り立つ。よって f(0)≦f(x)<f(1)=1.f(0)\le f(x)<f(1)=1.

(2)　 x1=0x_1=0 なので 0≦x1<10\le x_1<1 である。0≦xn<10\le x_n<1 なら、(1)より 0<f(0)≦f(xn)<1,0<f(0)\le f(x_n)<1, すなわち 0<xn+1<10<x_{n+1}<1 である。したがって数学的帰納法により、すべての自然数 nn で 0≦xn<10\le x_n<1 となる。 q=f′(1)q=f'(1) とおき、 Gn(t)=f(t)−f(1)−q(t−1)(xn≦t≦1)G_n(t)=f(t)-f(1)-q(t-1)\qquad(x_n\le t\le1) とする。(1)より xn≦t<1x_n\le t<1 では f′(t)<qf'(t)<q だから、 Gn′(t)=f′(t)−q<0(xn≦t<1).G_n'(t)=f'(t)-q<0\qquad(x_n\le t<1). ゆえに xn≦t1<t2≦1x_n\le t_1<t_2\le1 ならば Gn(t1)>Gn(t2)G_n(t_1)>G_n(t_2) が成り立ち、 Gn(xn)>Gn(1)=0.G_n(x_n)>G_n(1)=0. ここで xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)、f(1)=1f(1)=1 より、これは 1−xn+1<q(1−xn)1-x_{n+1}<q(1-x_n) を意味する。また (1) より xn+1=f(xn)<1x_{n+1}=f(x_n)<1 なので 1−xn+1>01-x_{n+1}>0 である。したがって求める不等式が成り立つ。

(3)　 q=f′(1)q=f'(1) とおくと、条件より 0<q<10<q<1 である。an=1−xna_n=1-x_n とおけば、(2)より 0<an+1<qan,a1=1.0<a_{n+1}<qa_n,\qquad a_1=1. したがって帰納的に 0<an≦qn−10<a_n\le q^{n-1} である。0<q<10<q<1 より qn−1→0q^{n-1}\to0 だから、はさみうちの原理により an→0a_n\to0。ゆえに lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(1−an)=1.\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=\lim\limits _{n\to\infty}(1-a_n)=1.

この問題で使う考え方

  • 凸関数と導関数

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