鳥取大学 2009年数学第IV問解答・解説

極限微分法積分法数列

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1問題

鳥取大学2009年度第IV問

関数 $f(x)=(1-x)^{-1}\quad(x\neq 1)$ について, 次の問いに答えよ。

(1) 自然数 $n$ に対して, 関数 $f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数 $f^{(n)}(x)$ を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対して, $\displaystyle f(a)=1+a+a^{2}+\dots+a^{n-1}+\int_{0}^{a}\frac{n(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}\,dx\tag{$\star$}$ が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。ただし $0<a<1$ とする。

(3) 前問(2)の( $\star$ )式右辺において, 積分で表される項を次のように $R_n(a)$ とする。 $\displaystyle R_n(a)=\int_{0}^{a}\frac{n(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}\,dx$ $0<a<1$ のとき, $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}R_n(a)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$n!/(1−x)^{n+1}$
(2)
帰納法で成立
(3)
0

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答 (1) $f'(x)=(1-x)^{-2}$ 。微分を繰り返すと $\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}.$

(2) $\displaystyle R_1(a)=\int_0^a(1-x)^{-2}dx=f(a)-1$ なので $n=1$ で成立する。さらに $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{(a-x)^n}{(1-x)^{n+1}}\right)=-\frac{n(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}+\frac{(n+1)(a-x)^n}{(1-x)^{n+2}}.$ これを0からaまで積分すると $R_{n+1}(a)-R_n(a)=-a^n$ ，すなわち $R_n(a)=a^n+R_{n+1}(a)$ 。従って $f(a)=1+a+\cdots+a^{n-1}+R_n(a)$ が成り立つとき，右辺を $1+a+\cdots+a^n+R_{n+1}(a)$ に書き換えられ，帰納法が完了する。

(3) (2)と等比数列の和から $\displaystyle R_n(a)=\frac1{1-a}-\frac{1-a^n}{1-a}=\frac{a^n}{1-a}\longrightarrow0\quad(0<a<1).$

この問題で使う考え方

微分の帰納
積分恒等式
等比数列の極限

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