II鳥取大学 2009年 数学 第II問解答・解説

交点では $xe^{-x}=2xe^{-2x}$。$x=0$ なら $(0,0)$。$x\ne0$ では $e^x=2$ となるので $x=\log2$、$y=(\log2)/2$。

差は $$2xe^{-2x}-xe^{-x}=xe^{-2x}(2-e^x).$$ $0<x<\log2$ ではこの差は正だから、この区間で $C_2$ が $C_1$ の上にある。交点は上の2点だけなので、囲まれる面積は $$\displaystyle \int_0^{\log2}(2xe^{-2x}-xe^{-x})\,dx.$$ 原始関数は $-(x+1/2)e^{-2x}+(x+1)e^{-x}$。$L=\log2$ と置いて端点を代入すると $$\displaystyle \left[-(x+\tfrac12)e^{-2x}+(x+1)e^{-x}\right]_0^L=\frac{L}{4}-\frac18=\boxed{\frac{2\log2-1}{8}}.$$