III鳥取大学 2009年 数学 第III問解答・解説

$P(a,b)$ は放物線 $C:y^2=2x$ 上にあるから $b^2=2a$。$b\ne0$ より $a>0$ である。 (1) 微分して $2y\,dy/dx=2$ だから、$P$ での接線の傾きは $1/b$、法線の傾きは $-b$。従って $$y-b=-b(x-a),\qquad L:y=-bx+b(a+1).$$ (2) 軸との交点は $Q(a+1,0)$、$R(0,b(a+1))$。$b<0$ でも $x$ 軸に関する反射で面積は変わらないので、以下 $b>0$ とする。三角形 $OQR$ の面積は $$\displaystyle S=\frac12b(a+1)^2.$$ 放物線と線分 $QP$、$OQ$ で囲まれる部分の面積を $S_1$ とする。高さ $y$ での横幅を積分すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_1&=\int_0^b\left(a+1-\frac yb-\frac{y^2}{2}\right)dy\\ &=b(a+1)-\frac b2-\frac{b^3}{6}=\frac{b(4a+3)}6. \end{aligned}$$ 最後に $b^2=2a$ を用いた。二等分条件は $S_1=S/2$ だから、 $$\displaystyle \frac{b(4a+3)}6=\frac{b(a+1)^2}{4}\iff3a^2-2a-3=0.$$ $a=(1\pm\sqrt{10})/3$ のうち $a>0$ より、$a=(1+\sqrt{10})/3$。 (3) $y=\sqrt{2x}\;(x\ge0)$ の逆関数は $y=x^2/2\;(x\ge0)$。交点の $x$ 座標は0,2で、$0<x<2$ では $\sqrt{2x}>x^2/2$。よって回転体の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^2\left\{(\sqrt{2x})^2-\left(\frac{x^2}{2}\right)^2\right\}dx\\ &=\pi\left[x^2-\frac{x^5}{20}\right]_0^2=\frac{12\pi}{5}. \end{aligned}$$