3徳島大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) 共有点の $x$ 座標を $p$ とする。接線の傾きが一致するので $$\displaystyle 2ap=\frac1p,\qquad a=\frac1{2p^2}.$$ 共有点条件 $\displaystyle ap^2+n-\frac12=\log p$ に代入すると $\log p=n$。従って $$\displaystyle p=e^n,\qquad q=n,\qquad a=\frac1{2e^{2n}}.$$

(2) $\displaystyle C_1(x)=ax^2+n-\frac12$ とおく。$n\ge1$ より $C_1(x)>0$。$0<x\le1$ では $\log x\le0$ だから下側境界は $x$ 軸となる。$p=e^n>1$ とし、$D(x)=C_1(x)-\log x$（$x>0$）とおくと、共有接線より $D(p)=D'(p)=0$、また $$\displaystyle D''(x)=2a+\frac1{x^2}>0.$$ よって $D'$ は増加し、$x<p$ なら $D'(x)<D'(p)=0$。従って $D$ は $p$ まで減少し、$1\le x<p$ では $D(x)>D(p)=0$。この区間では $C_1$ が上、$\log x$ が下の境界である。面積は $$\displaystyle S_n=\int_0^p\left(ax^2+n-\frac12\right)dx-\int_1^p\log x\,dx.$$ $a=1/(2p^2)$、$\log p=n$ を使うと $$\displaystyle \int_0^p\left(ax^2+n-\frac12\right)dx =\left(n-\frac13\right)p,\qquad \int_1^p\log x\,dx=np-p+1.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac23p-1=\frac23e^n-1}.$$

(3) $e^{-n}\to0$ だから $$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n} =\frac{\frac23e-e^{-n}}{\frac23-e^{-n}} \longrightarrow \boxed{e}.$$