1徳島大学 2011年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=x(x-2)(x^2-2x-6)$と因数分解できます。二次式の解は$1\pm\sqrt7$だから、(1)の解は$0,2,1-\sqrt7,1+\sqrt7$です。

(2) $f'(x)=4(x+1)(x-1)(x-3)$です。符号は順に、$x<-1$で負、$-1<x<1$で正、$1<x<3$で負、$x>3$で正です。したがって極大点は$x=1$で、$f(1)=7$より極大値は7です。

(3) $-1\le x\le1$の範囲では二次因子$x^2-2x-6$は負、また$x-2$も負です。従って$f$は$[-1,0]$で負、$[0,1]$で正です。原始関数$\displaystyle F(x)=\frac{x^5}{5}-x^4-\frac{2x^3}{3}+6x^2$を用いると、積分値は $$\displaystyle -\int_{-1}^0 f(x)\,dx+\int_0^1 f(x)\,dx=F(-1)+F(1)=\frac{82}{15}+\frac{68}{15}=10$$ です。