5京都大学 2011年 数学 第5問解答・解説

高校範囲　 平面と球の距離・切り口、平方展開、二次方程式の実数条件、三次関数の最大最小を用いる。ラグランジュ未定乗数法などの大学理論は使わない。

平面 $\alpha$ は三点を通るので $$\alpha:\ x+y+z=4.$$ 球面は $x^2+y^2+z^2=6$。平面の原点からの距離は $4/\sqrt3$ で、その二乗 $16/3$ は球の半径の二乗 $6$ より小さい。よって平面は球面を円で切り、半径の二乗は $$\displaystyle 6-\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2=\frac23>0.$$ 特に共有点を持つことが示された。

積の範囲を調べるため、平面上の円の中心 $\displaystyle (\tfrac43,\tfrac43,\tfrac43)$ からの変位を $$\displaystyle u=x-\frac43,\quad v=y-\frac43,\quad w=z-\frac43$$ とおく。条件から $$\displaystyle u+v+w=0,\qquad u^2+v^2+w^2=6-\frac{16}{3}=\frac23.$$ 従って $\displaystyle uv+vw+wu=-\tfrac13$ であり、展開すると $$\displaystyle xyz=\left(\frac43+u\right)\left(\frac43+v\right)\left(\frac43+w\right) =\frac{52}{27}+uvw.$$ ここで $q=u+v=-w$、$p=uv$ とおく。$\displaystyle u^2+v^2+w^2=\tfrac23$ に $w=-q$、$u^2+v^2=q^2-2p$ を代入して $$\displaystyle 2q^2-2p=\frac23,\qquad p=q^2-\frac13.$$ $u,v$ は二次方程式 $s^2-qs+p=0$ の実数解なので、その判別式は非負である。よって $$\displaystyle 0\le q^2-4p=\frac43-3q^2, \qquad -\frac23\le q\le\frac23.$$ 逆に、この区間の各 $q$ で判別式は非負となり、実数 $u,v$ が取れる。そのとき $w=-q$ とすれば上の二つの条件を満たすため、この区間は円上で実際に全て実現する。

積の三次項は $$\displaystyle uvw=pw=-pq=\frac q3-q^3.$$ 関数 $\displaystyle g(q)=\tfrac q3-q^3$ を $\displaystyle -\tfrac23\le q\le\tfrac23$ で調べると $$\displaystyle g'(q)=\frac13-3q^2=0\quad\text{すなわち}\quad q=\pm\frac13.$$ 端点と臨界点での値は $\displaystyle g(-\tfrac23)=g(\tfrac13)=\tfrac2{27}$、$\displaystyle g(-\tfrac13)=g(\tfrac23)=-\tfrac2{27}$。連続関数 $g$ の定義域全区間が実現するので、途中の値もすべて取る。したがって $$\displaystyle -\frac2{27}\le uvw\le\frac2{27},\qquad \boxed{\frac{50}{27}\le xyz\le2}.$$ 両端は実際に取れる。$(x,y,z)=(2,1,1)$ は最大値2を、$\displaystyle (\tfrac23,\tfrac53,\tfrac53)$ は最小値 $\displaystyle \tfrac{50}{27}$ を与え、どちらも和4・平方和6を満たす。

独立判定　 共有円の存在と、積の両端を含む範囲を独立に導出。数学はPASS。単元：空間図形、式と証明・二次方程式、微分による最大最小。方法：中心からの変位で対称式を整理し、判別式から一変数の範囲を決めて三次関数を評価。テーマ：球面と平面の交円上の三変数積の範囲。