4京都大学 2011年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{各 }j\text{ に対し }p_1=1,\ p_j=\prod\limits _{k=1}^{j-1}(1-a_k)\ (j\ge 2)\text{ とおく。}\quad p_j-p_{j+1}=a_jp_j,\quad p_{n+1}=\prod\limits _{k=1}^{n}(1-a_k)\text{ より}\quad 1-\prod\limits _{k=1}^{n}(1-a_k)=\sum\limits _{j=1}^{n}a_jp_j.\quad j\ge 2\text{ では }0<1-a_k<\frac12\ (k<j)\text{ なので }0<p_j<\frac1{2^{j-1}}.\quad a_j>0\text{ を用いれば }a_jp_j<\frac{a_j}{2^{j-1}}\ (j\ge2),\text{ また }a_1p_1=a_1.\quad n\ge2\text{ だから少なくとも一つの項で狭義不等号となり，}\quad 1-\prod\limits _{k=1}^{n}(1-a_k)<a_1+\sum\limits _{j=2}^{n}\frac{a_j}{2^{j-1}}.\quad \therefore\ \prod\limits _{k=1}^{n}(1-a_k)>1-\left(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_n}{2^{n-1}}\right).$$