6京都大学 2011年 数学 第6問解答・解説

四面体なので $A,B,C$ は一直線上になく、$D$ は平面 $ABC$ 上にない。$A$ を原点、$AB$ を $x$ 軸、平面 $ABC$ を $xy$ 平面とする直交座標をとる。このとき、ある実数 $u,v,w,s,t,q$ を用いて $$A=(0,0,0),\quad B=(u,0,0),\quad C=(v,w,0),\quad D=(s,t,q)$$ と表せる。$AB>0$ だから $u\ne0$、$C$ が直線 $AB$ 上にないから $w\ne0$、$D$ が平面 $ABC$ 上にないから $q\ne0$ である。

点 $O=(X,Y,Z)$ を、4点 $A,B,C,D$ までの距離が等しくなるように定める。まず $OA=OB$ の条件は、距離の二乗を等しくして $$X^2+Y^2+Z^2=(X-u)^2+Y^2+Z^2$$ である。よって $2uX=u^2$ となり、$u\ne0$ から $$\displaystyle X=\frac u2$$ と決まる。

次に $OA=OC$ の条件は $$X^2+Y^2+Z^2=(X-v)^2+(Y-w)^2+Z^2,$$ すなわち $2vX+2wY=v^2+w^2$ である。$w\ne0$ だから $$\displaystyle Y=\frac{v^2+w^2-2vX}{2w}$$ と決まる。

最後に $OA=OD$ の条件は $$X^2+Y^2+Z^2=(X-s)^2+(Y-t)^2+(Z-q)^2,$$ すなわち $2sX+2tY+2qZ=s^2+t^2+q^2$ である。$q\ne0$ なので $$\displaystyle Z=\frac{s^2+t^2+q^2-2sX-2tY}{2q}$$ と決まる。

以上で、実数 $X,Y,Z$ が順に定まり、構成した点 $O$ は $OA=OB=OC=OD$ を満たす。さらに $X=u/2\ne0$ だから $OA>0$ である。したがって、中心 $O$、半径 $OA$ の球面が存在し、これは4頂点 $A,B,C,D$ をすべて通る。