1京都大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 1回の抽出で最小の数が $k$ となるのは、$k$ と、$k$ より大きい数のうち1つを選ぶ場合である。従って $k=1,2,\ldots,8$ に対して $$\displaystyle P(X=k)=\frac{9-k}{\binom92}=\frac{9-k}{36},$$ また $P(X=9)=0$。1回目のカードを戻してから2回目を選ぶので、$X,Y$ は独立で同じ分布をもつ。よって $$\displaystyle P(X=Y)=\sum\limits _{k=1}^8P(X=k)^2 =\frac{1^2+2^2+\cdots+8^2}{36^2} =\frac{204}{1296}=\boxed{\frac{17}{108}}.$$

(2) 積分を二つに分ける。 $$\displaystyle I=\int_0^{1/2}x\sqrt{1-2x^2}\,dx+\int_0^{1/2}\sqrt{1-2x^2}\,dx.$$ 第1項は $u=1-2x^2$ と置けば $$\displaystyle \int_0^{1/2}x\sqrt{1-2x^2}\,dx =\frac16\left(1-\left(\frac12\right)^{3/2}\right) =\frac16-\frac{1}{12\sqrt2}.$$ 第2項は $t=\sqrt2x$ と置き、$\displaystyle \int\sqrt{1-t^2}\,dt=\tfrac12(t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t)$ を用いると $$\displaystyle \int_0^{1/2}\sqrt{1-2x^2}\,dx =\frac1{\sqrt2}\int_0^{1/\sqrt2}\sqrt{1-t^2}\,dt =\frac{1}{4\sqrt2}+\frac{\pi}{8\sqrt2}.$$ 従って $$\displaystyle I=\boxed{\frac16+\frac{1}{6\sqrt2}+\frac{\pi}{8\sqrt2}} =\boxed{\frac16+\frac{4+3\pi}{24\sqrt2}}.$$