3京都大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$|x|\le2$では$\displaystyle g(x)=1-\frac{3x^2}{4}$、$|x|\ge2$では$\displaystyle g(x)=\frac{3x^2}{4}-5$。内側で$y=x$との交点は$\displaystyle x=-2,\frac23$、外側では$\displaystyle x=-2,\frac{10}{3}$。$2$つの有界領域を分けて積分する。第1領域では$\displaystyle g-x=1-\frac{3x^2}{4}-x$で、積分範囲$\displaystyle -2\le x\le\frac23$の面積は$\displaystyle \frac{64}{27}$。第2領域では$\displaystyle \frac23$から$2$まで$\displaystyle x-g=x-1+\frac{3x^2}{4}$、$2$から$\displaystyle \frac{10}{3}$までは$\displaystyle x-g=x+5-\frac{3x^2}{4}$。各面積は$\displaystyle \frac{64}{27}$と$\displaystyle \frac{80}{27}$で、合計は$\displaystyle \frac{208}{27}$。