3東京医科歯科大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=x^m(1-x)^n$ を $0\le x\le1$ の範囲で考える。微分すると $$f'(x)=x^{m-1}(1-x)^{n-1}\{m-(m+n)x\}$$ である。したがって $x=m/(m+n)$ で最大値 $m^mn^n/(m+n)^{m+n}$ をとる。

(2) $\displaystyle I(m,n)=\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx$ とおく。部分積分により $I(m,n)=nI(m+1,n-1)/(m+1)$ を得る。これをn回繰り返し、$\displaystyle \int_0^1x^{m+n}\,dx=1/(m+n+1)$ を用いると階乗で表した式を得る。

(3) 端点の条件から $g(x)=Ax(1-x)$ と表される。$0<x<1$ では、$f(x)\le g(x)$ であるための必要十分条件は $A\ge x^{m-1}(1-x)^{n-1}$ である。従って最小のAは、この右辺のすべての値以上となる最小の数である。$m,n\ge2$ なら右辺は $x=(m-1)/(m+n-2)$ で最大となる。一方、m,nのいずれかが1なら、開いた範囲での右辺のすべての値以上となる最小の数は1である。$\displaystyle \max g=A/4$ なので、これから場合分けした答えを得る。

(4) $N=m+n$、$\displaystyle t_k=\binom Nk(m/N)^k(n/N)^{N-k}$ とおく。二項定理から $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{N}t_k=1$。隣り合う項の比は $$\displaystyle \frac{t_{k+1}}{t_k}=\frac{N-k}{k+1}\frac mn$$ であり、$k<m$ で1より大きく、$k\ge m$ で1より小さい。よって $t_m$ だけが最大となる。従って $1<(N+1)t_m$ であり、整理すると $$\displaystyle \frac{(N+1)!}{m!n!}>\frac{N^N}{m^mn^n}.$$ また、$\displaystyle (N/m)^m=(1+n/m)^m=\sum\limits _{j=0}^m\binom mj(n/m)^j$ である。$0\le j\le n$ について、その第j項と $\displaystyle \binom nj$ を比較する。 $$\displaystyle \binom mj(n/m)^j=\frac{n^j}{j!}\prod\limits _{r=0}^{j-1}(1-r/m),\qquad \binom nj=\frac{n^j}{j!}\prod\limits _{r=0}^{j-1}(1-r/n).$$ $m>n\ge2$ のとき、$j=0,1$ では両項は等しく、$2\le j\le n$ では前者が後者より大きい。したがって $\displaystyle (N/m)^m>\sum\limits _{j=0}^{n}\binom nj=2^n$。さらに $(N/n)^n=(1+m/n)^n>2^n$ である。これらを掛け合わせて $$\displaystyle \frac{N^N}{m^mn^n}=\left(\frac Nm\right)^m\left(\frac Nn\right)^n>2^{2n}>2^{2n-1}.$$