2東京医科歯科大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) $M$ の行列は $A(a,b)=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a-b\end{pmatrix}$（$a,b\text{ は整数}$）と表せる。直接計算すると $$A(a,b)A(u,v)=A(au-bv,\ av+bu-bv),$$ であり右辺のパラメータは整数だから、積は $M$ に属する。

(2) $\det A=a^2-ab+b^2=(a-b/2)^2+3b^2/4$ は、逆行列が存在する場合は正の整数。$A^{-1}\in M$ なら $\det(A^{-1})=1/\det A$ も正の整数で、積が1なので $\det A=ad-bc=1$。

(3) 従って $a^2-ab+b^2=1$。平方完成から $|b|\le1$。$b=0$ で $a=\pm1$、$b=1$ で $a=0,1$、$b=-1$ で $a=0,-1$。得られる6行列は $$E,\ -E,\ J,\ -J^2,\ -J,\ J^2,\qquad J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}.$$ 行列式1のとき $A^{-1}=A(a-b,-b)\in M$ なので全て条件を満たす。

(4) 直接積から $J^2=A(-1,-1)$、$J^3=E$。上の6行列のうち $E$ の位数は1、$-E$ は2、$J,J^2$ は3、$-J,-J^2$ は6。従って $$|S_n|=1+\mathbf1_{2\mid n}+2\mathbf1_{3\mid n}+2\mathbf1_{6\mid n}.$$ これが3となるのは $3\mid n$ かつ $2\nmid n$、すなわち $n=6k+3\ (k=0,1,2,\ldots)$。

条件を2整数で表し、積と逆行列を成分で確認する。行列式の正値と整数性から行列式1を得て、平方完成で全解を列挙する。残る6行列はJの具体的な累乗として分類し、各周期からnの条件を数える。