筑波大学 2005年数学第4問解答・解説

1問題

筑波大学2005年度第4問

2次正方行列 $P = \begin{pmatrix} p & q \\ r & 1 \end{pmatrix}$ について，次の問いに答えよ。

(1) P が逆行列をもたなければ $\begin{pmatrix} q \\ 1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} p \\ r \end{pmatrix}$ となる k が存在するか, または $\begin{pmatrix} p \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であることを示せ。

(2) 条件 $A^{2}=O,\quad A\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q\\1\end{pmatrix}$ を満たす 2 次正方行列 A が存在するとき, Pは逆行列をもつことを示せ。

(3) $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ のとき $A \begin{pmatrix} p \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q \\ 1 \end{pmatrix}$ となるような p, q, r を 1 組求め, $P^{-1}AP$ を計算せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad (q,1)^{\mathsf T}=k(p,r)^{\mathsf T}\quad$ となる $\quad k\quad$ が存在するか、または $\quad (p,r)^{\mathsf T}=0\quad$ 。 (2) $\quad P\quad$ は可逆。 (3) $\quad (p,q,r)=(-1,-2,0)\quad$ 、 $\quad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $P$ の列を $u=(p,r)^{\mathsf T}$ , $v=(q,1)^{\mathsf T}$ とする。逆行列がないことから $p-qr=0$ 。もし $r=0$ なら $p=0$ なので $u=0$ 。そうでなければ $r\ne0$ で、 $p=qr$ より $\displaystyle v=(q,1)^{\mathsf T}=\frac1r(p,r)^{\mathsf T}.$ よって所要の二者択一が成り立つ。

(2) $Au=v$ で $v\ne0$ である。もし $P$ が逆行列をもたなければ (1) より $u=0$ または $v=ku$ となる。 $u=0$ なら $Au=0\ne v$ となり矛盾する。 $v=ku$ なら $k\ne0$ であり、 $A^2u=0$ から $Av=0$ となる。一方 $Av=A(ku)=kAu=kv\ne0$ で矛盾する。したがって $P$ は逆行列をもつ。

(3) $A(p,r)^{\mathsf T}=(q,1)^{\mathsf T}$ は $2p+4r=q,\qquad -p-2r=1$ を与える。 $r=0$ と選べば $p=-1,q=-2$ である。このとき $P=\begin{pmatrix}-1&-2\\0&1\end{pmatrix},\quad P^2=I,\quad AP=\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}.$ ゆえに $P^{-1}=P$ であり、 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.$

行列式 $p-qr$ を零とする条件から第1列が零か第2列が第1列の定数倍であることを直接示す。次に $A^2=O$ と $Au=v$ がその両方を排除する。最後は条件を満たす簡単な一組を選び、逆行列と行列積を成分で計算した。

この問題で使う考え方

2×2行列の直接計算
行列の列ベクトル
行列積

1問題

2答え

3解答

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