2筑波大学 2005年 数学 第2問解答・解説

(1) $P=(t,\sin t)$、$0<t<\pi/2$ とする。法線が $Q(0,1)$ を通る条件は $g(t)=\cos t(1-\sin t)-t=0$。 $g'(t)=-\sin t(1-\sin t)-\cos^2t-1<0$ であり、$g(0)=1,g(\pi/2)=-\pi/2$。中間値の定理から解が存在し、gはこの範囲で減少して異なるtで同じ値をとらないので、解はただ1つ。 (2) $q=\cos t$ とおくと法線は $l(x)=1-x/q$ で、$t=q(1-\sin t)$。したがって $0<t<q$、法線の$x$切片は$q$。 $S_1$の上端は$y=1$、下端は$0\le x\le t$で$l(x)$、$t\le x\le\pi/2$で$\sin x$。従って $$\displaystyle S_1=\int_0^t\frac{x}{q}dx+\int_t^{\pi/2}(1-\sin x)dx=\frac{t^2}{2q}+\frac\pi2-t-q.$$ $S_2$の下端は$x$軸、上端は$0\le x\le t$で$\sin x$、$t\le x\le q$で$l(x)$。従って $$\displaystyle S_2=\int_0^t\sin x\,dx+\int_t^q(1-x/q)dx=1-\frac q2-t+\frac{t^2}{2q}.$$ よって $$\displaystyle S_1-S_2=\frac\pi2-1-\frac q2>\frac\pi2-\frac32>0$$ （$0<q<1,\pi>3$）。結論は $\boxed{S_1>S_2}$。