5筑波大学 2005年 数学 第5問解答・解説

(1) 方程式を展開すると $$x^2-1+a(y^2-2x-3)=0$$ となる。$A=x^2-1,\ B=y^2-2x-3$ とおけば、点 $(x,y)$ が $a$ の値によらずすべての $C_a$ 上にあるための条件は $A+aB=0$ がすべての実数 $a$ について成り立つことである。したがって $A=B=0$ である。まず $x^2-1=0$ より $x=1$ または $x=-1$。 $$x=1\quad\text{より}\quad y^2-5=0\quad\text{より}\quad y=\pm\sqrt5,\qquad x=-1\quad\text{より}\quad y^2-1=0\quad\text{より}\quad y=\pm1.$$ よって定点は $(1,\pm\sqrt5),\,(-1,\pm1)$ の4点である。

(2) $(x,y)$ が正の実数 $a$ に対するいずれかの $C_a$ 上にある条件は $$A+aB=0\quad\text{を満たす }a>0\text{ が存在すること}$$ である。$A,B\ne0$ の場合は $a=-A/B$ だから、これは $A$ と $B$ が異符号、すなわち $AB<0$ と同値である。$A=0$ または $B=0$ の場合には方程式が成り立つために $A=B=0$ が必要十分であり、これは (1) の4定点である。したがって通過範囲は $$(x^2-1)(y^2-2x-3)<0$$ の領域と4定点の和集合である。

境界曲線 $y^2=2x+3$、すなわち $x=(y^2-3)/2$ は頂点 $(-3/2,0)$ をもち右に開く放物線である。$x<-1$ または $x>1$ では $x^2-1>0$ なので $y^2<2x+3$ が必要となる。これより該当範囲は $-3/2<x<-1$ および $x>1$ における放物線の上下の枝の間である。一方、$-1<x<1$ では $x^2-1<0$ なので $y^2>2x+3$ が必要となり、放物線の上下の枝の外側を塗る。等号境界は、(1) の4定点を除いて通過範囲に含まれない。

図では青い領域が $(x^2-1)(y^2-2x-3)<0$ を満たす部分である。破線 $y^2=2x+3$ と点線 $x=\pm1$ は境界を表し、境界は赤い4定点以外は含まない。

(1) 4定点は $(1,\sqrt5)$、$(1,-\sqrt5)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$。(2) 通過範囲は $(x^2-1)(y^2-2x-3)<0$を満たす点と4定点の和集合。図では $y^2=2x+3$の右開き放物線の境界のうち指定された3領域を塗り、境界は4定点以外除く。図示要求に対応する図を追加し、境界の扱いと軌跡の進行方向を表示した。