3岡山大学 2005年 数学 第3問解答・解説

円の中心を $M=(1,0)$、半径を1とする。円周上の点を $$T=(1+\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi$$ と表す。接線の法線方向は $MT=(\cos t,\sin t)$ であり、垂線の足 $P$ は直線 $OP$ 上にあるから $P=\lambda(\cos t,\sin t)$ とおける。Tでの接線は $$(x-1)\cos t+y\sin t=1.$$ これにPを代入すると $\lambda-\cos t=1$、よって $$P=((1+\cos t)\cos t,(1+\cos t)\sin t).$$ $r=1+\cos t$ と置けば $P=(r\cos t,r\sin t)$、$r'=-\sin t$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} x'^2+y'^2&=(r')^2+r^2\\ &=\sin^2t+(1+\cos t)^2=2+2\cos t=4\cos^2\frac t2. \end{aligned}$$ 速さは $2|\cos(t/2)|$ なので、区間を分けて弧長を求めると $$\displaystyle L=\int_0^\pi2\cos\frac t2\,dt+\int_\pi^{2\pi}-2\cos\frac t2\,dt=4+4=8.$$

接線の法線が半径MTと平行であることから、垂線の足Pをその方向のスカラー倍に置く。接線方程式に代入して媒介変数表示を求め、速さを計算する。平方根の符号がt=πで変わるため積分区間を分けて長さ8を得る。