4岡山大学 2005年 数学 第4問解答・解説

以下、複素指数表示は $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ の意味で用いる。

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad w=0&\text{すなわち} z^3=-1,\\ \theta&=-\pi,-\frac\pi3,\frac\pi3.\\[3pt] (2)\quad w&=e^{2i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\frac{3\theta}{2}\,e^{i\theta/2},\\ \beta&=\begin{cases} \frac\theta2+\pi&(-\pi<\theta<-\frac\pi3),\\ \frac\theta2&(-\frac\pi3<\theta<\frac\pi3),\\ \frac\theta2-\pi&(\frac\pi3<\theta<\pi), \end{cases}\qquad(w\ne0).\\[3pt] (3)\quad \phi&=\angle(z,w),\qquad \sin\phi=\frac{|\operatorname{Im}(\bar zw)|}{|z||w|},\\ [OXY]&=\frac12|z||w|\sin\phi=\frac12|\operatorname{Im}(\bar zw)| =\frac12|\sin\theta-\sin2\theta|,\\ |\sin\theta(2\cos\theta-1)|&=\sqrt3,\\ c=\cos\theta:\quad (1-c^2)(2c-1)^2&=3,\\ (2c+1)(2c^3-3c^2+2)&=0. \end{aligned}$$

$q(c)=2c^3-3c^2+2$ とおくと $q'(c)=6c(c-1)$ なので、$-1\leq c\leq0$ の範囲で増加、$0\leq c\leq1$ の範囲で減少する。また $$\displaystyle q(-1)=-3,\quad q(-\tfrac12)=1,\quad q(1)=1>0.$$ したがって $\displaystyle -1<c<-\tfrac12$ の範囲に根がただ1つあり、$0\leq c\leq1$ の範囲には根がない。さらに一次因子から $\displaystyle c=-\tfrac12$ も得る。各cos値 $c$ は $-1<c<1$ を満たすため、$0<\theta_0<\pi$, $\cos\theta_0=c$ となる $\theta_0$ が1つずつあり、$-\pi<\theta<\pi$ の範囲では各々 $\pm\theta_0$ の2角を与える。従って合計は $\boxed{4}$ 個。

以下、複素指数表示は $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ の意味で用いる。

(1) $|z|=1$より$z=e^{i\theta}$。$w=0$は$z^3+1=0$と同値で、指定区間の解は$\displaystyle \theta=-\pi,-\frac\pi3,\frac\pi3$。 (2) $w=e^{2i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos(3\theta/2)e^{i\theta/2}$。$\cos(3\theta/2)$は$-\pi/3<\theta<\pi/3$の範囲で正、その外側で負（ただし$\theta=-\pi,\pm\pi/3$では$w=0$）。よって主偏角は中央で$\theta/2$、$-\pi<\theta<-\pi/3$では$\theta/2+\pi$、$\pi/3<\theta<\pi$では$\theta/2-\pi$。 (3) 位置ベクトル$z,w$のなす角を$\phi$とすると、$\sin\phi=|\operatorname{Im}(\overline z w)|/(|z||w|)$だから、三角形の面積は$|z||w|\sin\phi/2=|\operatorname{Im}(\overline z w)|/2$。ここで$\overline z w=e^{i\theta}+e^{-2i\theta}$なので面積は$|\sin\theta-\sin2\theta|/2$。面積が$\sqrt3/2$となる条件は$|\sin\theta(2\cos\theta-1)|=\sqrt3$。$c=\cos\theta$と置いて二乗すると$(1-c^2)(2c-1)^2=3$、すなわち$(2c+1)(2c^3-3c^2+2)=0$。よって$c=-1/2$、または$q(c)=2c^3-3c^2+2=0$。$q'(c)=6c(c-1)$は$-1\le c\le0$の範囲で正、$0\le c\le1$の範囲で負だから、qは前者で増加し後者で減少する。$q(-1)=-3,\ q(-1/2)=1$より、$-1\le c\le0$の範囲に根がちょうど1つあり、それは$-1<c<-1/2$を満たす。また$q(1)=1>0$で$0\le c\le1$の範囲では$q(c)\ge1$だから、この区間に根はない。従って$\cos\theta$の値は$-1/2$と$-1<c<-1/2$を満たすqの唯一の根の2つである。いずれも$-1$と$1$の間にあるので、各値$c$に対して$0<\theta_0<\pi$かつ$\cos\theta_0=c$となる$\theta_0$が1つあり、$-\pi<\theta<\pi$の範囲では$\pm\theta_0$の2解を持つ。合計4個。