3大阪大学 2004年 数学 第3問解答・解説

1組の隣り合う円周等分点に対応する放物線を考える。隣り合う点の中心角は $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ だから、$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{n}$、$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とおく。$n\ge3$ より $c,s>0$ である。中心 $O$ と角の二等分線を $u$ 軸にとると、2点は $P_+=(c,s)$、$P_-=(c,-s)$ となる。それぞれの接線は原点を通る方向 $(c,s)$、$(c,-s)$ の直線である。

この2点を通る円錐曲線の式を $$F(u,v)=Au^2+Buv+Cv^2+Du+Ev+G=0$$ と書き、$Q(u,v)=Au^2+Buv+Cv^2$、$L(u,v)=Du+Ev$ とする。2点を通ることから $$Q(P_+)+L(P_+)+G=0,\qquad Q(P_-)+L(P_-)+G=0.$$ 両式の差を取ると $Bc+E=0$ を得る。

接線条件は、接点を通る半径方向の直線を代入して調べる。$P_+$ を通る直線上の点を $((1+\lambda)c,(1+\lambda)s)$ とすると、代入した式は $$Q(P_+)(1+\lambda)^2+L(P_+)(1+\lambda)+G=0$$ である。$\lambda=0$ は接点だから、直線が接線であることは、この二次式で $\lambda=0$ が重解となることと同値である。定数項は点を通る条件で $0$ なので、$\lambda$ の係数も $0$、すなわち $2Q(P_+)+L(P_+)=0$ となる。同様に、$P_-$ での接線条件は $2Q(P_-)+L(P_-)=0$ である。この2つの接線条件を引くと $2s(2Bc+E)=0$ を得る。これと $Bc+E=0$、および $s,c>0$ から $B=E=0$ となる。

放物線の二次部分は、その軸に合わせて座標を回転すると1つの一次式の平方である。従って、二次部分の係数は $A=\mu r^2$、$B=2\mu rq$、$C=\mu q^2$ と表せ、$B^2=4AC$ を満たす。すでに $B=0$ なので $AC=0$ である。点を通る条件と $P_+$ の接線条件は $$Ac^2+Cs^2+Dc+G=0,\qquad 2Ac^2+2Cs^2+Dc=0$$ である。$C=0$ とすると $D=-2Ac$、$G=Ac^2$ となる。この場合、$A\ne0$ なら $F=A(u-c)^2=0$ という重なった直線であり、$A=0$ なら $F=0$ は曲線を定めない。どちらも放物線ではないので、$C\ne0$ でなければならず、従って $A=0$ である。上の2式から $$\displaystyle D=-\frac{2Cs^2}{c},\qquad G=Cs^2$$ となり、放物線は $$\displaystyle u=\frac{c}{2}+\frac{c}{2s^2}v^2$$ と求まる。これは両点を通り、先に用いた直線代入の二次式で各接点が重解となるので、指定された接線条件も満たす。

次に、隣り合う半径に挟まれた1区間の面積を求める。$0\le v\le s$ では中心から $P_+$ に向かう半径が $\displaystyle u=\frac{c}{s}v$ であり、放物線と半径との差は $$\displaystyle \left(\frac{c}{2}+\frac{cv^2}{2s^2}\right)-\frac{cv}{s} =\frac{c}{2}\left(1-\frac{v}{s}\right)^2\ge0.$$ 負の $v$ 側は対称なので、1区間の面積 $A_n$ は $$\displaystyle \begin{aligned} A_n&=2\int_0^s\left(\frac{c}{2}+\frac{cv^2}{2s^2}-\frac{cv}{s}\right)dv\\ &=2\left[\frac{cv}{2}+\frac{cv^3}{6s^2}-\frac{cv^2}{2s}\right]_0^s\\ &=\frac{cs}{3}. \end{aligned}$$ 円周上の隣接する各組は回転で合同で、領域は半径方向の境界を共有するだけで重ならない。よって全体の面積は $$\displaystyle S_n=nA_n=\frac{n}{3}\cos\frac{\pi}{n}\sin\frac{\pi}{n} =\frac{n}{6}\sin\frac{2\pi}{n}.$$ $\displaystyle u=\frac{2\pi}{n}$ とおけば $n\to\infty$ のとき $u\to0$ であり、標準極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ を使うと $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{\pi}{3}\lim\limits _{u\to0}\frac{\sin u}{u}=\frac{\pi}{3}.$$