5神戸大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$$r=1+\cos\theta,\qquad x=r\cos\theta=(1+\cos\theta)\cos\theta,\quad y=r\sin\theta=(1+\cos\theta)\sin\theta.$$

(1) 微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta(1+2\cos\theta),\qquad \frac{dy}{d\theta}=(2\cos\theta-1)(1+\cos\theta).$$ $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$ は $\displaystyle \theta=0,\pi,2\pi,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$ で起きる。対応する異なる点は $$\displaystyle (2,0),\quad (0,0),\quad \left(-\frac14,\frac{\sqrt3}{4}\right),\quad\left(-\frac14,-\frac{\sqrt3}{4}\right).$$ $\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$ は $\displaystyle \theta=\pi,\frac\pi3,\frac{5\pi}3$ で起き、対応する点は $$\displaystyle (0,0),\quad\left(\frac34,\frac{3\sqrt3}{4}\right),\quad\left(\frac34,-\frac{3\sqrt3}{4}\right).$$

(2) $\theta\ne\pi$ の近くで $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2\cos\theta-1}{1+2\cos\theta}\cdot\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} =-\frac{2\cos\theta-1}{1+2\cos\theta}\cot\frac\theta2.$$ $\theta\to\pi$ のとき前の分数は $3$ に、$\cot(\theta/2)$ は $0$ に近づくので、極限は $0$。

(3) $\theta\mapsto2\pi-\theta$ で $x$ は変わらず $y$ の符号だけが反転するから、曲線は $x$ 軸対称である。$\theta=\pi$ の原点が尖点、$\theta=0,2\pi$ の $(2,0)$ が右端。上側を $(2,0)$ から通る順に、 $$\displaystyle \left(\frac34,\frac{3\sqrt3}{4}\right),\quad \left(-\frac14,\frac{\sqrt3}{4}\right),\quad(0,0)$$ を通り、下側はこれらを $x$ 軸について対称にした点を通って $(2,0)$ に戻る。これらの点を滑らかに結んだ閉曲線として図示する。

(4) $r'=-\sin\theta$ なので、 $$\displaystyle \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=(r')^2+r^2 =\sin^2\theta+(1+\cos\theta)^2=4\cos^2\frac\theta2.$$ よって曲線の長さは $$\displaystyle L=\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac\theta2\right|d\theta =\int_0^\pi2\cos\frac\theta2d\theta+\int_\pi^{2\pi}-2\cos\frac\theta2d\theta =4+4=8.$$