1神戸大学 2016年 数学 第1問解答・解説

位置ベクトルを用いて各点を表す。辺 $OB$ を $OQ:QB=2:1$ に内分するので $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{OQ}=\frac23\vec b,\qquad \overrightarrow{OR}=\frac12(\vec b+\vec c).$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =\frac23\vec b-\frac12\vec a},\qquad \boxed{\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} =\frac12\vec b+\frac12\vec c-\frac12\vec a}.$$

$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を座標 $(x,y,z)$ とする。四面体は退化していないため、これらは空間の基底となる。点 $P,Q,R$ の座標は $$\displaystyle P=\left(\frac12,0,0\right),\qquad Q=\left(0,\frac23,0\right),\qquad R=\left(0,\frac12,\frac12\right).$$ 3点は一直線上になく、いずれも $$4x+3y+z=2$$ を満たすので、これが通過平面の方程式である。$S$ は辺 $AC$ 上にあるから、ある $0\le t\le1$ に対して $$S=(1-t,0,t).$$ 平面上にある条件より $$\displaystyle 4(1-t)+t=2,\qquad t=\frac23.$$ ここで $t=AS/AC$ なので $$\displaystyle \boxed{|\,\overrightarrow{AS}\,|:|\,\overrightarrow{SC}\,|=t:(1-t)=2:1}, \qquad \overrightarrow{OS}=\frac13\vec a+\frac23\vec c.$$

正四面体では各辺が長さ $1$。例えば $$|\vec a-\vec b|^2=|AB|^2=1$$ かつ $|\vec a|=|\vec b|=1$ より $\vec a\cdot\vec b=1/2$。同様に $$\displaystyle \vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=\frac12.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{QS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OQ} =\frac13(\vec a-2\vec b+2\vec c)$$ であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} |\overrightarrow{QS}|^2 &=\frac19|\vec a-2\vec b+2\vec c|^2\\ &=\frac19\left(1+4+4-4\vec a\cdot\vec b +4\vec a\cdot\vec c-8\vec b\cdot\vec c\right)\\ &=\frac19(9-2+2-4)=\frac59. \end{aligned}$$ 長さは正なので $$\displaystyle \boxed{|\overrightarrow{QS}|=\frac{\sqrt5}{3}}.$$