2徳島大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$\triangle OAB$ は非退化なので，$\vec{OA},\vec{OB}$ を基底とする係数表示を用いる。$\vec{OX}=x\vec{OA}+y\vec{OB}$ のとき，点 $X$ を $(x,y)$ と書く。内分・外分の公式より $$\displaystyle \begin{aligned} P&=(p,0),& P'&=\left(\frac{p}{2p-1},0\right),\\ Q&=(1-q,q),& Q'&=\left(\frac{q-1}{2q-1},\frac{q}{2q-1}\right),\\ R&=(0,1-r),& R'&=\left(0,\frac{r-1}{2r-1}\right). \end{aligned}$$ ここで条件から各分母は $0$ でない。

(1) $\triangle OAB$ の重心の係数は $\displaystyle \left(\frac13,\frac13\right)$ である。一方，$\triangle PQR$ の重心の係数は $$\displaystyle \frac13(P+Q+R)=\left(\frac{1+p-q}{3},\frac{1+q-r}{3}\right).$$ したがって重心が一致する条件は $$1+p-q=1,\qquad 1+q-r=1,$$ すなわち $p=q=r$ である。よって $p:q:r=1:1:1$（共通値は $\displaystyle 0<p<1,\ p\ne\frac12$ の範囲）。

(2) $\overrightarrow{P'Q'}$ と $\overrightarrow{P'R'}$ が平行でないので，$\triangle P'Q'R'$ は非退化であり，重心の係数は頂点の係数の平均である。重心が $\triangle OAB$ の重心と一致する条件は $$\displaystyle \frac{p}{2p-1}+\frac{q-1}{2q-1}=1,\qquad \frac{q}{2q-1}+\frac{r-1}{2r-1}=1.$$ 条件より分母は $0$ でない。また $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{p}{2p-1}+\frac{q-1}{2q-1}-1 &=\frac{q-p}{(2p-1)(2q-1)},\\ \frac{q}{2q-1}+\frac{r-1}{2r-1}-1 &=\frac{r-q}{(2q-1)(2r-1)}. \end{aligned}$$ よって $p=q,\ q=r$，すなわち $p=q=r$。 (1)より $\triangle OAB$ と $\triangle PQR$ の重心は一致する。

(3) 係数表示で $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{P'Q'}&= \left(\frac{1-p-q}{(2p-1)(2q-1)},\frac{q}{2q-1}\right),\\ \overrightarrow{P'R'}&= \left(-\frac{p}{2p-1},\frac{r-1}{2r-1}\right). \end{aligned}$$ $\overrightarrow{P'Q'}\parallel\overrightarrow{P'R'}$ だから，これらの係数の組は一方が他方の実数倍となるため、第一の組の第1成分と第二の組の第2成分の積から、第一の組の第2成分と第二の組の第1成分の積を引くと $0$ になる。したがって $$\displaystyle 0= \frac{(1-p-q)(r-1)+pq(2r-1)} {(2p-1)(2q-1)(2r-1)}.$$ 分母は $0$ でないので，分子を展開すると $$\begin{aligned} 0 &=(1-p-q)(r-1)+pq(2r-1)\\ &=2pqr+p+q+r-(pq+qr+rp+1). \end{aligned}$$ ゆえに $2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$。