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群馬大学／2017年度

群馬大学 2017年 数学 第4問解答・解説

図形の性質ベクトル

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1問題

群馬大学2017年度第4問

四面体 OABC において, OA = OB = OC = 2 かつ BC = 3 であるとする。△OBC の重心を G とするとき, 直線 AG は △OBC を含む平面に垂直であるとする。

(1) 内積 OB→⋅OC→\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} を求めよ。

(2) 点 B から △OAC を含む平面に下ろした垂線は，直線 AG と交わらないことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) OB→⋅OC→=−12\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\frac12。

    (2) 垂線上の点 XX は OX→⋅OC→=−12\displaystyle \overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OC}=-\frac12、直線 AGAG 上の点 YY は OY→⋅OC→=76\displaystyle \overrightarrow{OY}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac76 となるため、両者は交わらない。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

位置ベクトルを b=OB→, c=OC→, g=OG→ とする。 ∣b∣=∣c∣=2, ∣c−b∣=BC=3 である。(1) 9=∣c−b∣2=∣c∣2+∣b∣2−2b⋅c=8−2b⋅c より、b⋅c=−12.(2) G は △OBC の重心なので g=b+c3 である。点 X が B から平面 OAC への垂線上にあるとすると、c はその平面内の方向ベクトルだから (OX→−b)⋅c=0。したがってOX→⋅c=b⋅c=−12.一方、点 Y が直線 AG 上にあるとき、OY→=g+tGA→ と表せる。 AG⊥平面 OBC であり c はその平面内にあるので GA→⋅c=0。よってOY→⋅c=g⋅c=(b+c)⋅c3=−12+43=76.垂線上では内積が −12、直線 AG 上では 76 で一定であり一致しない。ゆえにこの垂線は直線 AG と交わらない。\displaystyle \text{位置ベクトルを }\mathbf b=\overrightarrow{OB},\ \mathbf c=\overrightarrow{OC},\ \mathbf g=\overrightarrow{OG}\text{ とする。}\ |\mathbf b|=|\mathbf c|=2,\ |\mathbf c-\mathbf b|=BC=3\text{ である。} \text{(1) }9=|\mathbf c-\mathbf b|^2=|\mathbf c|^2+|\mathbf b|^2-2\mathbf b\cdot\mathbf c=8-2\mathbf b\cdot\mathbf c\text{ より、} \boxed{\mathbf b\cdot\mathbf c=-\frac12}. \text{(2) }G\text{ は }\triangle OBC\text{ の重心なので }\mathbf g=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}\text{ である。点 }X\text{ が }B\text{ から平面 }OAC\text{ への垂線上にあるとすると、}\mathbf c\text{ はその平面内の方向ベクトルだから }(\overrightarrow{OX}-\mathbf b)\cdot\mathbf c=0\text{。したがって} \overrightarrow{OX}\cdot\mathbf c=\mathbf b\cdot\mathbf c=-\frac12. \text{一方、点 }Y\text{ が直線 }AG\text{ 上にあるとき、}\overrightarrow{OY}=\mathbf g+t\overrightarrow{GA}\text{ と表せる。}\ AG\perp\text{平面 }OBC\text{ であり }\mathbf c\text{ はその平面内にあるので }\overrightarrow{GA}\cdot\mathbf c=0\text{。よって} \overrightarrow{OY}\cdot\mathbf c=\mathbf g\cdot\mathbf c=\frac{(\mathbf b+\mathbf c)\cdot\mathbf c}{3}=\frac{-\frac12+4}{3}=\frac76. \text{垂線上では内積が }-\frac12\text{、直線 }AG\text{ 上では }\frac76\text{ で一定であり一致しない。ゆえにこの垂線は直線 }AG\text{ と交わらない。}

この問題で使う考え方

  • 三角形の中心
  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

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