5久留米大学 2020年 数学 第5問解答・解説

$$\boldsymbol a=\overrightarrow{OA},\qquad \boldsymbol b=\overrightarrow{OB},\qquad \boldsymbol c=\overrightarrow{OC}$$ とおく。正四面体の各面は正三角形なので、各ベクトルの長さは6、異なる2本のなす角は $60^\circ$ である。したがって $$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b =\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c =\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c =6\cdot6\cos60^\circ=18.$$

(1)

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=18$$ である。内分比 $AD:DB=3:2$ より、内分点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OD} =\frac{2\boldsymbol a+3\boldsymbol b}{5}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{CD} =\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC} =\frac{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-5\overrightarrow{OC}}{5}.$$ したがって $$\boxed{\text{ヨラ}=18},\qquad \boxed{\text{リ}=2},\quad \boxed{\text{ル}=3},\quad \boxed{\text{レ}=5},\quad \boxed{\text{口}=5}.$$

(2)

内分比 $BE:EC=s:(1-s)$ より $$\overrightarrow{OE}=(1-s)\boldsymbol b+s\boldsymbol c.$$ (1)の式から $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol b &=\frac{2\cdot18+3\cdot36-5\cdot18}{5} =\frac{54}{5},\\ \overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol c &=\frac{2\cdot18+3\cdot18-5\cdot36}{5} =-18. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{OE} =(1-s)\frac{54}{5}-18s =\frac{54-144s}{5}.$$ 垂直条件はこの内積が0となることだから $$\displaystyle 54-144s=0\text{ と同値な条件は }s=\frac38.$$ よって $\displaystyle BE=6\cdot\frac38=\frac94$、また $\displaystyle AD=6\cdot\frac35=\frac{18}{5}$ である。三角形 $ABC$ は一辺6の正三角形なので、その高さは $$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3.$$ Eから直線ABまでの距離は、BからCに進む割合が $3/8$ であることから $\displaystyle \frac38\cdot3\sqrt3=\frac{9\sqrt3}{8}$。よって $$\displaystyle [\triangle ADE] =\frac12\cdot\frac{18}{5}\cdot\frac{9\sqrt3}{8} =\frac{81\sqrt3}{40}.$$ したがって $$\boxed{\text{ワ}=3},\qquad \boxed{\text{あ}=8},\qquad \boxed{\text{いう}=81},\qquad \boxed{\text{え}=3},\qquad \boxed{\text{おか}=40}.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{ヨラ}=18},\quad \boxed{\text{リ}=2,\ \text{ル}=3,\ \text{レ}=5,\ \text{口}=5},\quad \boxed{s=\frac38},\quad \boxed{[\triangle ADE]=\frac{81\sqrt3}{40}}.$$

使用した解法

ベクトルの内積、内分点の位置ベクトル、正三角形の高さと三角形の面積を用いた。