4久留米大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1)

漸化式から $$a_3=5a_2+14a_1=5\cdot16+14\cdot1=94.$$ よって $\boxed{\text{マミ}=94}$。

次に $$b_n=2\cdot7^{n-1}-(-2)^{n-1}$$ とおく。$b_1=1=a_1$、$b_2=14-(-2)=16=a_2$ である。また $$7^2=5\cdot7+14,\qquad (-2)^2=5(-2)+14$$ なので、それぞれのべきは同じ漸化式を満たし、その差 $b_n$ も $$b_{n+2}=5b_{n+1}+14b_n$$ を満たす。初項2つが数列 $\{a_n\}$ と一致し、同じ漸化式で次々の項が一意に定まるから、数学的帰納法により $a_n=b_n$ である。したがって $$a_n=2\cdot7^{n-1}-(-2)^{n-1},$$ すなわち $$\boxed{\text{ム}=2},\qquad \boxed{\text{メ}=7},\qquad \boxed{\text{モ}=2}.$$

(2)

(1)の式を用い、等比数列の和を計算する。 $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}a_k &=2\sum\limits _{k=1}^{n}7^{k-1}-\sum\limits _{k=1}^{n}(-2)^{k-1}\\ &=2\cdot\frac{7^n-1}{7-1} -\frac{(-2)^n-1}{-2-1}\\ &=\frac{7^n-1}{3}+\frac{(-2)^n-1}{3}\\ &=\frac{7^n+(-2)^n-2}{3}. \end{aligned}$$ よって $$\boxed{\text{ヤ}=2},\qquad \boxed{\text{ユ}=3}.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{マミ}=94},\qquad \boxed{\text{ム}=2,\ \text{メ}=7,\ \text{モ}=2},\qquad \boxed{\sum\limits _{k=1}^{n}a_k=\frac{7^n+(-2)^n-2}{3}}$$ （したがって $\boxed{\text{ヤ}=2,\ \text{ユ}=3}$）。

使用した解法

与えられた漸化式への代入と数学的帰納法、等比数列の和を用いた。