2久留米大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1)

1000以上2020以下の3の倍数は、1002から2019までである。1002を3で割った商は334、2019を3で割った商は673なので、個数は $$673-334+1=340.$$ したがって $$\boxed{\text{クケコ}=340}.$$

(2)

まず1000から1999までを数える。この範囲では千の位が1である。

- 1がちょうど3個の場合、残り1桁は1以外の9通りで、その桁の位置は百・十・一の位の3通りである。よって $9\cdot3=27$ 個。 - 1以外の同じ数字がちょうど3個の場合、千の位の1が唯一異なる数字となり、百・十・一の位はすべて同じ数字である。その数字は1以外の9通りなので、9個。

よってこの範囲では $27+9=36$ 個である。

次に2000から2020までを調べる。2000は0がちょうど3個なので該当する。2001〜2009、2010〜2019、2020では、どの数字も3個そろわない。したがって全体では $$\boxed{\text{サシ}=36+1=37}.$$

(3)

千の位が1の数は1000〜1999である。$a=1$ とすると、条件は $$b+d=1+c.$$ $c=0,1,\ldots,8$ のとき、右辺 $1+c$ は1から9までで、和が $s$ となる0〜9の数字の順序対 $(b,d)$ は $s+1$ 通りである。$c=9$ のとき和は10であり、順序対は9通りである。したがってこの範囲の個数は $$2+3+\cdots+10+9=54+9=63.$$

千の位が2で対象となるのは2000〜2020だけである。2000〜2009では $b=0,c=0$ なので $2+c=b+d$ を満たすのは $d=2$、すなわち2002である。2010〜2019では $b=0,c=1$ なので $d=3$、すなわち2013である。2020は $2+c=4$ である一方 $b+d=0$ となり、条件を満たさない。よってこの範囲では2個である。

以上より $$\boxed{\text{スセ}=63+2=65}.$$

最終答案

$$\boxed{\text{クケコ}=340},\qquad \boxed{\text{サシ}=37},\qquad \boxed{\text{スセ}=65}.$$

使用した解法

整数の倍数の個数、数字の位置と場合分け、各位の和を固定した順序対の数え上げを用いた。