1久留米大学 2020年 数学 第1問解答・解説

二つの方程式を $$\text{① }x^2-3x+2m+2=0,\qquad \text{② }x^2+2x-m-3=0$$ とする。

(1)

①の判別式を $D$ とすると $$D=(-3)^2-4(2m+2)=1-8m.$$ 異なる2つの実数解をもつための必要十分条件は $D>0$ である。したがって $$\displaystyle 1-8m>0\text{すなわち} m<\frac18.$$ よって $$\boxed{\text{ア}=1},\qquad \boxed{\text{イ}=8}.$$

(2)

②の一つの解が $3$ なので、②に $x=3$ を代入すると $$9+6-m-3=0,$$ よって $m=12$ である。②の2解の和は $-2$ だから、もう一つの解を $r$ とすると $$3+r=-2,\qquad r=-5.$$ したがって $$\boxed{\text{ウ}=5}.$$

(3)

①と②が共通の実数解 $x$ をもつとする。①から②を引くと $$\displaystyle -5x+3m+5=0,\qquad x=\frac{3m+5}{5}.$$ これを②に代入し、両辺に25を掛けると $$\begin{aligned} 0 &=(3m+5)^2+10(3m+5)-25m-75\\ &=9m^2+35m\\ &=m(9m+35). \end{aligned}$$ したがって必要条件は $m=0$ または $m=-35/9$ である。

いずれも実際に共通解をもつ。$m=0$ では $x=1$ が①、②の両方を満たす。また $m=-35/9$ では $x=-4/3$ が両方を満たす。よってこの2値は十分でもあり、求める条件は $$\displaystyle m=0,\qquad m=-\frac{35}{9}.$$ したがって $$\boxed{\text{エ}=0},\qquad \boxed{\text{オカ}=35},\qquad \boxed{\text{キ}=9}.$$

最終答案

$$\boxed{\text{ア}=1,\ \text{イ}=8,\ \text{ウ}=5,\ \text{エ}=0,\ \text{オカ}=35,\ \text{キ}=9}.$$

使用した解法

二次方程式の判別式、解と係数の関係、共通解を代入して得る必要十分条件を用いた。