III北里大学 2020年 2日目 数学 第III問解答・解説

解答

(1) $u=2^{x-1}>0$ とおくと $2^{-x}=1/(2u)$ だから $$\displaystyle u+\frac{1}{2u}=a\quad\text{すなわち}\quad 2u^2-2au+1=0.$$ この二次方程式の解が異なる2個の正の数であるには、判別式が正で、解の和が正であればよい（解の積は $1/2>0$）。したがって $a^2-2>0$ かつ $a>0$、すなわち $a>\sqrt2$ である。正の $u$ と $x$ は一対一に対応するので、これは異なる2個の実数解をもつ条件と同値である。よって選択肢は3。

(2) $u=2^{x-1},\ v=2^{-x}$ とおけば $uv=1/2$ であり、$t=u+v$ とおくと $$t^2-2=(u-v)^2\ge0,\qquad t\ge\sqrt2.$$ また、$t>\sqrt2$ のとき $2u^2-2tu+1=0$ は異なる2個の正の解をもち、それぞれがただ1つの $x$ を定める。$t=\sqrt2$ のときは $u=v$ となり、$x$ は1個だけである。

$$4^{x-1}=u^2,\quad 2^{x+1}=4u,\quad 2^{2-x}=4v,\quad 4^{-x}=v^2$$ より $$f(x)=u^2+v^2-4(u+v)+4=(u+v)^2-2uv-4t+4=t^2-4t+3.$$ したがって $\boxed{\text{コ}}$ には選択肢8が入る。以下 $g(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$、$r=\sqrt2$、$y_0=4\sqrt2-5>0$ とおく。$t=r$ では $g(r)=5-4\sqrt2<0$ なので $|g(r)|=y_0$。$t=r$ に対応する $x$ は1個だけで、$t>r$ の各値に対応する $x$ は2個ずつである。異なる実数解が5個という奇数になるには $t=r$ が解でなければならず、そのほかに異なる $t>r$ がちょうど2個必要である。よって $$b\sqrt2+c=4\sqrt2-5,\qquad c=-\sqrt2\,b+4\sqrt2-5.$$ したがって $\boxed{\text{サ}}=6$、$\boxed{\text{シ}}=6$ である。

$t=r+s$、$d=3-r$ とおく。$r\le t\le3$ では $g(t)\le0$ であり、$0\le s\le d$ である。この範囲での差は $$D_1(s)=|g(r+s)|-(bt+c)=s(4-2r-b-s).$$ $s=0$ 以外に $0<s<d$ の根が1個ある条件は $$0<4-2r-b<3-r, \quad\text{すなわち}\quad 1-r<b<4-2r.$$ 一方、$t\ge3$ では $|g(t)|=g(t)$ であり、差は $$D_2(s)=|g(r+s)|-(bt+c)=s^2-(4-2r+b)s-2y_0.$$ 定数項が負なので判別式は正で、2根の積も負である。したがって正の根はちょうど1個である。$s=d$ で $D_2(d)=-(y_0+bd)$ だから、その正の根が $s>d$ にある条件は $$\displaystyle y_0+bd>0\quad\text{すなわち}\quad b>\frac{5-4r}{3-r}=1-r.$$ 上で求めた範囲ではこれも成り立つ。従って $r<t<3$ の範囲に1個、$t>3$ の範囲に1個の根があり、対応する実数解は端点分も合わせて $1+2+2=5$ 個である。逆に5個ならこの2区間に根が1個ずつ必要なので、条件はちょうど $$1-\sqrt2<b<4-2\sqrt2$$ となる。範囲の下端では内側の根と $t=3$ の根が一致し、上端では内側の根が端点 $t=r$ と一致するため、いずれも5個にならず不等号は厳密である。よって $\boxed{\text{ス}}=2$、$\boxed{\text{セ}}=8$ である。