4岐阜大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) $y^2+by-1=0$ の解は $$\displaystyle y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$$ である。係数 $y^2$ は正で、判別式 $b^2+4$ は正だから、不等式を満たす範囲は二つの解の間である。従って $$\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}<y<\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}.$$

(2) $c=-1$ とし、(1)の範囲の $y$ を固定する。方程式を $x$ について整理すると $$x^2+(ay+b)x+(y^2+by-1)=0.$$ 定数項は (1) より負である。判別式は $$(ay+b)^2-4(y^2+by-1)=(ay+b)^2-4(y^2+by-1)>0$$ となるため二つの実数解をもつ。また、解の積は $y^2+by-1<0$ なので二解の符号は異なる。従って正の解と負の解を一つずつもつ。

(3) $c=1$ のとき、$x$ についての方程式は $$x^2+(ay+b)x+(y^2+by+1)=0.$$ 最高次係数が $1$ なので、実数解をもつための必要十分条件は判別式が非負であること、すなわち $$(ay+b)^2-4(y^2+by+1)\ge0$$ である。同値な形は $$(a^2-4)y^2+2b(a-2)y+b^2-4\ge0.$$

(4) $u=x+y,\ v=x-y$ とおくと $$\displaystyle x^2+y^2+axy=\frac{2+a}{4}u^2+\frac{2-a}{4}v^2.$$ 仮定 $-2<a<2$ より両係数は正である。さらに平方完成すると、方程式は $$\displaystyle \frac{2+a}{4}\left(u+\frac{2b}{2+a}\right)^2 +\frac{2-a}{4}v^2 =\frac{b^2}{2+a}-1$$ となる。左辺は非負であり、$v=0$ として $u$ を動かせば任意の非負値をとれる。従って実数 $x,y$ が存在するための必要十分条件は右辺が非負であること、すなわち $$b^2\ge a+2,$$ または同値に $b\le-\sqrt{a+2}$ もしくは $b\ge\sqrt{a+2}$ である。