6岐阜大学 2003年 数学 第6問解答・解説

(1) $\vec{x}\cdot\vec{y}=0$ および $|\vec{x}|=|\vec{y}|$ だから $$|\vec{a}|^2=|2\vec{x}+3\vec{y}|^2 =4|\vec{x}|^2+12\vec{x}\cdot\vec{y}+9|\vec{y}|^2 =13|\vec{x}|^2.$$ $\vec{a}=(7,-4)$ より $|\vec{a}|^2=65$ なので $|\vec{x}|^2=5$、従って $|\vec{x}|=\sqrt5$ である。また $$\vec{a}\cdot\vec{x}=(2\vec{x}+3\vec{y})\cdot\vec{x}=2|\vec{x}|^2+3\vec{x}\cdot\vec{y}=10.$$

(2) 平面上で $\vec{x}$ と垂直かつ同じ長さのベクトルは、$\vec{x}=(p,q)$ とおくと $\vec{y}=(q,-p)$ または $\vec{y}=(-q,p)$ の2通りである。

まず $\vec{y}=(q,-p)$ の場合、$2\vec{x}+3\vec{y}=(7,-4)$ から $$2p+3q=7,\qquad -3p+2q=-4.$$ これを解くと $p=2,q=1$ であり、$(\vec{x},\vec{y})=((2,1),(1,-2))$ を得る。

次に $\vec{y}=(-q,p)$ の場合は $$2p-3q=7,\qquad 3p+2q=-4.$$ これを解くと $\displaystyle p=\frac2{13},q=-\frac{29}{13}$ であり、$\displaystyle (\vec{x},\vec{y})=((\frac2{13},-\frac{29}{13}),(\frac{29}{13},\frac2{13}))$ を得る。

いずれも $\vec{x}\cdot\vec{y}=0$、$|\vec{x}|=|\vec{y}|=\sqrt5$ および $2\vec{x}+3\vec{y}=(7,-4)$ を満たす。従って条件から定まる組はこの2組である。