5岐阜大学 2003年 数学 第5問解答・解説

(1) 線分と実軸の交点 線分上の点を $w(t)=(1-t)z+t/z$ ($0\le t\le1$) と表す。その虚部は $$\displaystyle \Im w(t)=y\left(1-t-\frac{t}{r^2}\right).$$ これが0となるのは $$\displaystyle t=\frac{r^2}{r^2+1},$$ であり、$r^2>0$ より $0<t<1$。このとき実部は $$\displaystyle \Re w(t)=\frac{x}{r^2+1}+\frac{r^2}{r^2+1}\frac{x}{r^2} =\frac{2x}{r^2+1}.$$ $x>0$ であり、$r^2+1-2x=(x-1)^2+y^2>0$ だから、この交点の実部は0と1の間にある。

(2) 三角形 $z,0,1/z$ の面積 原点を頂点とする2辺のベクトルは $(x,y)$ と $(x/r^2,-y/r^2)$ である。従って面積は $$\displaystyle \frac12\left|x\left(-\frac y{r^2}\right)-y\left(\frac x{r^2}\right)\right| =\boxed{\frac{xy}{x^2+y^2}}.$$

(3) 面積が等しい点の軌跡 三角形 $z,1,1/z$ の面積は、2辺 $(x-1,y)$ と $(x/r^2-1,-y/r^2)$ の座標を用いる面積公式より、次の式の絶対値の半分である。 $$\displaystyle (x-1)\left(-\frac y{r^2}\right) -y\left(\frac x{r^2}-1\right) =\frac{y\{(x-1)^2+y^2\}}{r^2}>0.$$ よってこの面積は $\displaystyle \dfrac{y\{(x-1)^2+y^2\}}{2r^2}$。これを(2)の面積に等しいとおくと、$y/r^2>0$ より $$(x-1)^2+y^2=2x \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (x-2)^2+y^2=3.$$ 従って軌跡は、中心 $(2,0)$、半径 $\sqrt3$ の円周のうち $y>0$ の部分である。$2-\sqrt3>0$ なのでこの半円弧はすべて $x>0$ にあり、端点 $(2\pm\sqrt3,0)$ は条件 $y>0$ により含まれない。 $$\boxed{(x-2)^2+y^2=3,\qquad y>0}.$$