1広島大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $D$ は複素平面で偏角 $0$ の正の実軸から偏角 $\pi-\theta$ の半直線までの扇形領域であり、2本の境界半直線と原点を含む。図は形を示すため $\theta=\pi/6$ として描き、半径5の円は表示上の切断であって領域の境界ではない。

(2) $z=0$ では不等式は $0\le a$ で成り立ち、等号ではない。$z\ne0$ として $z=re^{i\varphi}$、$r>0$、$0\le\varphi\le\pi-\theta$ とする。差の平方を $$\Delta=|z+a|^2-|z|^2\sin^2\theta =r^2\cos^2\theta+2ar\cos\varphi+a^2$$ とおく。$0\le\varphi\le\pi/2$ では各項が非負で $a^2>0$ だから $\Delta>0$。

$\pi/2<\varphi\le\pi-\theta$ では $\psi=\pi-\varphi$ とおくと $\theta\le\psi<\pi/2$、$\cos\varphi=-\cos\psi$ である。したがって $$\Delta=(r\cos\psi-a)^2+r^2(\cos^2\theta-\cos^2\psi)\ge0,$$ ここで $\psi\ge\theta$ と余弦の減少性から第2項も非負である。等号は両項が同時に0となる場合、すなわち $\psi=\theta$ かつ $r\cos\theta=a$ のときに限る。従って $\varphi=\pi-\theta$、$r=a/\cos\theta$ であり、 $$\displaystyle z=\frac{a}{\cos\theta}e^{i(\pi-\theta)}=-a+ia\tan\theta.$$