2広島大学 2003年 数学 第2問解答・解説

（1）$n\pi\leq x\leq(n+1)\pi$ では $x>0$ だから，$$\displaystyle \frac{1}{\pi^2(n+1)^2}\leq\frac{1}{x^2}\leq\frac{1}{\pi^2n^2}.$$ また $1-\cos x\geq0$ であるから，これらを掛けて積分すると$$\displaystyle \frac{1}{\pi^2(n+1)^2}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}(1-\cos x)\,dx\leq S_n\leq\frac{1}{\pi^2n^2}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}(1-\cos x)\,dx.$$ ここで$$\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}(1-\cos x)\,dx=[x-\sin x]_{n\pi}^{(n+1)\pi}=\pi$$ であるから，$$\displaystyle \frac{1}{\pi(n+1)^2}\leq S_n\leq\frac{1}{\pi n^2}.$$

（2）前半の不等式は正であるから，逆数をとると$$\displaystyle \pi k^2\leq\frac{1}{S_k}\leq\pi(k+1)^2.$$ よってこれを $k=1,2,\ldots,n$ について加えると$$\displaystyle \frac{\pi}{n^3}\sum\limits _{k=1}^n k^2\leq\frac{1}{n^3}\sum\limits _{k=1}^n\frac{1}{S_k}\leq\frac{\pi}{n^3}\sum\limits _{k=1}^n(k+1)^2.$$ 平方和の公式より$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum\limits _{k=1}^n(k+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1.$$ したがって左辺と右辺はいずれも $n\to\infty$ で $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ に収束するので，はさみうちの原理より$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{S_k}=\frac{\pi}{3}.$$