3東京医科歯科大学 2011年 数学 第3問解答・解説

・ $$\displaystyle S_n-\int_0^1\frac{dx}{1+x}=-\int_0^1\frac{(-x)^n}{1+x}\,dx.$$ $(-x)^n=(-1)^n x^n$ なので被積分関数は$0\le x\le1$ の範囲で符号が一定である。また $1+x\ge1$ より $$\displaystyle \left|S_n-\int_0^1\frac{dx}{1+x}\right| =\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx \le\int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}.$$

・ 等比数列の和の公式から $$\displaystyle \frac{1-(-x)^n}{1+x}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}(-x)^k$$ である。これを積分して $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1}=\sum\limits _{j=1}^{n}\frac{(-1)^{j-1}}j.$$ さらに $1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)$ より $$\displaystyle \begin{aligned} T_n&=S_n-\sum\limits _{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k+1}\\ &=S_n-\sum\limits _{j=2}^{n+1}\frac{(-1)^j}{j}. \end{aligned}$$ 一方，$\displaystyle S_{n+1}=1+\sum\limits _{j=2}^{n+1}(-1)^{j-1}/j$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{n+1}\frac{(-1)^j}{j}=1-S_{n+1}.$$ したがって $$\displaystyle T_n=S_n+S_{n+1}-1=2S_n-1+\frac{(-1)^n}{n+1},$$ ゆえに $$\displaystyle T_n-2S_n=\frac{(-1)^n}{n+1}-1.$$

・ $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x}=\left[\log(1+x)\right]_0^1=\log2.$$ (1)より $S_n\to\log2$ であり，また $(-1)^n/(n+1)\to0$ である。(2)の式から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=2\log2-1.$$