4聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $$\displaystyle S_4=1-\frac12+\frac13-\frac14 =\frac{12-6+4-3}{12}=\frac7{12}.$$

(2) 偶数番目の項は $$\displaystyle S_{2k+2}-S_{2k}=\frac1{2k+1}-\frac1{2k+2}>0$$ より添字とともに増加し、奇数番目の項は $$\displaystyle S_{2k+1}-S_{2k-1}=-\frac1{2k}+\frac1{2k+1}<0$$ より添字とともに減少する。また、任意の偶数項 $S_{2k}$ は任意の奇数項 $S_{2j-1}$ より小さい。実際、$k\ge j$ ならば $S_{2k}<S_{2k+1}\le S_{2j-1}$ であり、$k<j$ ならば $S_{2k}\le S_{2j-2}<S_{2j-1}$ である。 従って、指定された8項の小さい方から4項は偶数添字の $$S_{8m+2}<S_{8m+4}<S_{8m+6}<S_{8m+8}$$ であり、次に小さいのは奇数項のうち最小の $S_{8m+7}$ である。よって $a=7$。

(3) 調和和 $\displaystyle H_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac1k$ を用いると $$\displaystyle S_{2n}=\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right) =H_{2n}-2\sum\limits _{k=1}^n\frac1{2k} =H_{2n}-H_n.$$ したがって $$\displaystyle S_{2n}=\sum\limits _{j=n+1}^{2n}\frac1j =\sum\limits _{k=1}^n\frac1{n+k},$$ 所望の等式が示された。

(4) (3)より $\displaystyle S_{2n}=\sum\limits _{j=n+1}^{2n}\frac1j$。関数 $1/x$ は正で減少するので、各単位区間での長方形評価から $$\displaystyle \int_{n+1}^{2n+1}\frac{dx}{x} \le \sum\limits _{j=n+1}^{2n}\frac1j \le \int_n^{2n}\frac{dx}{x}.$$ よって $$\displaystyle \ln\frac{2n+1}{n+1}\le S_{2n}\le\ln2.$$ 左端は $\displaystyle \ln(2-\frac1{n+1})\to\ln2$ であるから、はさみうちにより $S_{2n}\to\ln2$。また $$\displaystyle S_{2n+1}=S_{2n}+\frac1{2n+1}\to\ln2.$$ 偶数番目と奇数番目の部分列がともに $\ln2$ に収束するので、数列全体について $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\ln2$$ である。